[論文レビュー] The renormalisation bialgebra and operads

P. van der Laan, Ieke Moerdijk|ArXiv.org|Oct 23, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、双代数、コオペラッド、およびオペラッドの間の代数的・圏論的枠組みを確立し、Brouder (2002) のビテンソル代数構成が双代数のコオペラッド構造から自然に生じることを示している。主な貢献は、双代数 $ B $ に対し関連するコオペラッド $ C_B $ を構成したとき、ビテンソル双代数 $ T(T^+(B)) $ が $ B_{C_B} $ の反対双代数に同型であることを証明することである。$ B $ が可換である場合には、対応する対称代数およびホップ代数に対しても同様の結果が成り立つ。

ABSTRACT

In a recent preprint, Brouder and Schmitt give a careful construction of a `renormalisation' Hopf algebra out of an arbitrary bialgebra. In this note, we point out that this is a special case of the construction of the cooperad of a bialgebra (Berger-Moerdijk) combined with the construction of a bialgebra from a cooperad (Frabetti-Van der Laan).

研究の動機と目的

• 量子場理論および再正規化におけるビテンソル代数構成の代数的起源を明確化すること。
• 双代数 $ B $ から導かれるコオペラッド $ C_B $ によって得られる双代数 $ B_{C_B} $ とビテンソル代数 $ T(T^+(B)) $ の間の明確な対応関係を確立すること。
• 双代数 $ B $ が可換である場合に、この対応関係を対称代数およびホップ代数へと拡張すること。
• 1-還元されたコオペラッドおよびその関連する双代数が再正規化理論の文脈において果たす役割を形式化すること。
• 双代数のコオペラッドを介して、オペラッド理論と双代数理論の構成を統一すること。

提案手法

• 非 $ \Sigma $ コオペラッド $ C $ の全空間にたいして、$ B_C $ をそのテンソル代数として定義し、$ C $ の余構造 $ \gamma^* $ によって余積を誘導する。
• $ B_C $ にコユニットを定義する際、非次数ゼロの生成子上で消え、$ C(1) $ 上でコイデンティティに制限し、代数準同型として拡張する。
• $ C $ が $ \Sigma $-コオペラッドであるとき、$ B_C $ の双代数構造が、コインバリアント上の対称代数 $ \bar{B}_C = S(\bigoplus_n C(n)_{S_n}) $ に降下することを示す。
• $ C(1) = k $ から得られるベースポイントを用いて、$ H_C $ を $ \bigoplus_n C(n) $ 上のポイント付きテンソル代数 $ T_*(\bigoplus_n C(n)) $ として定義し、連結なグレーディング構造を活用して反対作用素の存在を保証する。
• $ B $ を双代数として与えたとき、$ C_B(n) = B^{\otimes n} $ と定め、スウィードラー記法および双代数の積・余積を用いてココムポジションを定義することで、$ C_B $ を $ B $ から構成する。
• $ T(T^+(B)) \cong B_{C_B}^{\text{op}} $ を証明し、$ B $ が可換である場合には、対称代数およびホップ代数に対しても同様の結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビテンソル代数 $ T(T^+(B)) $ は、どのようにオペラッド的およびコオペラッド的構成として解釈できるか？
• RQ2 双代数 $ B $ に対して、ビテンソル代数 $ T(T^+(B)) $ と双代数 $ B_{C_B} $ の間の明確な関係は何か？
• RQ3 $ B_C $ の双代数構造が、コインバリアント上の対称代数 $ \bar{B}_C $ に降下する条件は何か？
• RQ4 $ C $ が1-還元されたコオペラッドであるとき、$ H_C $ の構成は $ T(T^+(B)) $ に関連するピントルホップ代数とどのように関係するか？
• RQ5 $ C^{>1}_B $ である1-還元されたコオペラッドは、ビテンソル代数とホップ代数的構造を結ぶ上で果たす役割は何か？

主な発見

• ビテンソル双代数 $ T(T^+(B)) $ は、$ C_B(n) = B^{\otimes n} $ で定義される非 $ \Sigma $ コオペラッド $ C_B $ に対し、$ B_{C_B} $ の反対双代数に同型である。
• $ B $ が可換であるとき、対称ビテンソル双代数 $ S(S^+(B)) $ は、$ C_B $ のコインバリアント上の双代数 $ \bar{B}_{C_B} $ の反対に同型である。
• $ T(T^+(B)) $ に関連するピントルホップ代数は、$ C_B $ の1-還元部分 $ C^{>1}_B $ から構成されるホップ代数 $ H_{C^{>1}_B} $ の反対に同型である。
• $ C $ から $ B_C $ を構成する過程では、$ C $ が満たすコアソシエイティビティおよびコユニット性が保たれることにより、well-defined な双代数が得られる。
• $ C $ が1-還元されたコオペラッドである場合、連結なグレーディング双代数構造が反対作用素の存在を保証するため、ホップ代数 $ H_C $ はwell-definedである。
• $ C $ が1-還元された $ \Sigma $-コオペラッドであるとき、対称代数構成 $ \bar{H}_C $ はホップ代数を導く。この構造は、$ B $ が可換である場合、$ S(S^+(B)) $ のピントルホップ代数に対応する。