[論文レビュー] The representations of cyclotomic BMW algebras

Hebing Rui, Jie Xu|ArXiv.org|Jan 3, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$\mathscr{B}_{2p+1,n}$ が可換環 $R$ 上のセルラー代数であることを証明し、体上のその非可約モジュールの完全な分類を可能にするセルラー構造を確立する。主な貢献は、$\mathbf{u}$-適切な条件下で、$n$ が偶数か奇数か、および特定のパラメータ $\omega_i$ が消えるか否かに応じて異なる振る舞いを示す $\mathbf{u}$-クレシュチェフ多重分割によってインデックス付けられた非可約表現の分類である。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the cyclotomic BMW algebras B2p+1,n are cellular in the sense of [16]. We also classify the irreducible B2p+1,nmodules over a field.

研究の動機と目的

• 奇数の $r$ のとき、cyclotomic BMW代数 $\mathscr{B}_{r,n}$ が [16] の意味でセルラー代数であることを確立すること。
• セルラー代数の理論を用いて、体上のすべての互いに同型でない非可約 $\mathscr{B}_{r,n}$-モジュールを $\mathbf{u}$-適切な条件下で分類すること。
• 分類が $n$ の偶奇およびパラメータ $\omega_i$ の消えるかどうかにどのように依存するかを特定すること。
• 商モジュールからの生成元の上げ上げと半正規表現を用いて、$\mathscr{B}_{r,n}$ のセルラー基底を構成すること。

提案手法

• cyclotomic Nazarov–Wenzl代数におけるものに類似した有理関数の族を構成し、特定の条件下で半正規表現を定義する。
• Wedderburn–Artinの定理を用いて、半単純であるとき $\mathscr{B}_{r,n}$ のランクの下界を $r^n(2n-1)!!$ と定める。
• 奇数の $r$ のとき $\mathscr{B}_{r,n}$ の商モジュールを構成し、両側イデアルのフィルトレーションを誘導する。
• これらの商モジュールからの生成元を上げて、$R$-加群としての $\mathscr{B}_{r,n}$ の生成集合 $S$ を構成し、そのサイズが $r^n(2n-1)!!$ であることを示す。
• 構成された生成元と商モジュールの構造を用いてセルラー基底の存在を確認することで、$\mathscr{B}_{r,n}$ がセルラー代数であることを証明する。
• セルラー代数の表現論の結果を応用し、非可約 $\mathscr{B}_{r,n}$-モジュールを Ariki–Koike代数 $\mathscr{H}_{r,n-2f}$ のそれらと関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cyclotomic BMW代数 $\mathscr{B}_{r,n}$ が [16] の意味でセルラー代数であるための条件は何か？
• RQ2 非可約表現 $\mathscr{B}_{r,n}$ がパラメータ $\omega_i$ および $n$ の偶奇にどのように依存するか？
• RQ3 $r$ が奇数のとき、体上のすべての互いに同型でない非可約 $\mathscr{B}_{r,n}$-モジュールの完全な分類は何か？
• RQ4 半正規表現理論は、$\mathscr{B}_{r,n}$ のセルルモジュールおよび双線形形式の構造とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathbf{u}$-適切な条件が、セルルモジュール上の非退化双線形形式の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 奇数の $r=2p+1$ のとき、$\mathscr{B}_{2p+1,n}$ は可換環 $R$ 上でセルラー代数である。これは、商モジュールから得られる両側イデアルのフィルトレーションによって確立される。
• 自由な $R$-加群としての $\mathscr{B}_{r,n}$ のランクは正確に $r^n(2n-1)!!$ であり、そのサイズの生成集合を構成することでこれを証明する。
• 非可約 $\mathscr{B}_{r,n}$-モジュールは、$0 \leq f \leq \lfloor n/2 \rfloor$ および $\lambda$ が $n-2f$ の $\mathbf{u}$-クレシュチェフ多重分割であるようなペア $(f, \lambda)$ によってインデックス付けされる。$\mathbf{u}$-適切な条件下で成り立つ。
• 偶数の $n$ の場合、ある $i \leq r-1$ に対して $\omega_i \neq 0$ ならば、すべての $f \leq n/2$ が分類に寄与する。すべての $\omega_i = 0$ ならば、$f < n/2$ のみが寄与する。
• セルルモジュール $\Delta(f,\lambda)$ 上の双線形形式 $\phi_{f,\lambda}$ が非退化であるのは、対応する Ariki–Koike代数上の形式 $\phi_\lambda$ が非退化であるときであり、$f = n/2$ の場合を除く。
• 奇数の $n$ の場合、分類には $0$ から $\lfloor n/2 \rfloor$ までのすべての $f$ が含まれ、非可約モジュールは $n-2f$ の $\mathbf{u}$-クレシュチェフ多重分割と一対一対応する。