[論文レビュー] The resolution property for schemes and stacks

Burt Totaro|ArXiv.org|Jul 23, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、安定化群にやや穏やかな条件を課したもとで、解像性（resolution property）—任意の整合的層がベクトル bundle の商である—と、準アフィンスキームを $GL(n)$ で割った商スタックであるという性質の同値性を確立する。主な貢献は、閉点での安定化群がアフィンである正規ネーター的スタックに対して、解像性が $GL(n)$ による商として表現可能であることの同値性を示したことであり、これは、スキーム的粗モジュライ空間をもつオルビフォールドへも拡張可能である。

ABSTRACT

We prove the equivalence of two fundamental properties of algebraic stacks: being a quotient stack in a strong sense, and the resolution property, which says that every coherent sheaf is a quotient of some vector bundle. Moreover, we prove these properties in the important special case of orbifolds whose associated algebraic space is a scheme.

研究の動機と目的

• アフィン安定化群をもつ代数的スタックについて、解像性と商スタック構造の同値性を確立すること。
• やや穏やかな条件下で、解像性がスタックが準アフィンスキームを $GL(n)$ で割ったものと同型であることの証明。
• 有限で一般に自明な安定化群をもち、スキーム的粗モジュライ空間とアフィン対角を持つ滑らかなデリーニュ＝ムーディスタックが解像性をもつことの証明。
• オルビフォールドや商特異点をもつスタックについて、ベクトルバンドルによる解像が存在するかという長年の未解決問題を解消すること。
• 導来カテゴリーや双有理幾何への応用において、コhen-Macaulayなグローバル被覆を必要としない一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 準アフィンスキームにおける解像性のためのトーマソンの結果を用いて、同値性の一方の方向を確立する。
• キール＝モリーの定理を適用して、有限安定化群をもつ滑らかなデリーニュ＝ムーディスタックの粗モジュライ空間 $B$ を構成する。
• 等変層理論を用い、切断が消える点のみに集中する $T$-等変ベクトルバンドルの存在を用いて、解像を構成する。
• スタック $Y/T$ の解像性を、ある $T$-等変整合的層 $C$ が $T$-等変ベクトルバンドルの商であるかどうかという問題に還元する。
• 準アフィンスキーム上の $GL(n)$-バンドルが自身も準アフィンであることを利用して、商スタックの解像性を導く。
• 対称性と降下技術（例：$ extbf{Z}/2$-作用）を用いて、射影直線の和集合からノード曲線およびその商へ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネーター的代数的スタックがアフィン安定化群をもち、ある準アフィンスキーム $W$ に対して $W/GL(n)$ と同型であるための条件は何か？
• RQ2 有限で一般に自明な安定化群をもち、スキーム的粗モジュライ空間をもつ滑らかなデリーニュ＝ムーディスタックが解像性をもつのはいつか？
• RQ3 Cohen-Macaulayなグローバル被覆を仮定しないで、商特異点をもつオルビフォールドについて解像性を確立できるか？
• RQ4 アフィン安定化群をもつスタックについて、解像性が、準アフィンスキームを $GL(n)$ で割ったものとしてのスタックであることと同値か？
• RQ5 アフィン対角をもち、非自明な $G_m$-gerbe をもつスタックにおいて、解像性の幾何的障害は何か？

主な発見

• 体上の滑らかなデリーニュ＝ムーディスタックで、粗モジュライ空間がスキームでアフィン対角をもち、有限かつ一般に自明な安定化群をもつものは解像性をもつ。
• 閉点での安定化群がアフィンである正規ネーター的スタックについて、解像性は、スタックが準アフィンスキームを $GL(n)$ で割ったものと同型であることと同値である。
• 解像性はスタックの対角準同型がアフィンであることを意味し、$n \geq 2$ のとき $">\mathbb{A}^n \cup_{\mathbb{A}^n - 0} \mathbb{A}^n$ という反例を除外する。
• $">\mathbb{P}^1 \cup \mathbb{P}^1$ 上に、ある点でのみ切断が消える $T$-等変ベクトルバンドルを明示的に構成し、商スタック $Y/T$ の解像性を証明した。
• ノード曲線の $G_m$-作用による商についても、ノード曲線が正規でないにもかかわらず解像性が成立し、結果の頑健性を示した。
• $H^2$-類が torsion でない $G_m$-gerbe をもつ曲面についての反例は解像性を満たさないが、これはアフィン対角が十分でないことを確認する。しかし、定理1.1における同値性は、より強い安定化群の条件のもとで依然として成立する。