[論文レビュー] The Riemann Hypothesis for Angular Lattice Sums

Ross C. McPhedran, L. C. Botten+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素指数と格子点の角度の三角関数を含む角格子和を評価するための高速収束型公式を導入する。この研究では、クラス $Π(1,4m;s)$ のような和に対してリーマン予想が成り立つための必要十分条件を示し、リーマンゼータ関数とカタランのベータ関数の積が、臨界線上で同じ零点分布を有することを示している。

ABSTRACT

We present further results on a class of sums which involve complex powers of the distance to points in a two-dimensional square lattice and trigonometric functions of their angle, supplementing those in a previous paper (McPhedran {\em et al}, 2008). We give a general expression which permits numerical evaluation of members of the class of sums to arbitrary order. We use this to illustrate numerically the properties of trajectories along which the real and imaginary parts of the sums are zero, and we show results for the first two of a particular set of angular sums (denoted ${\cal C}(1,4 m;s)$) which indicate their density of zeros on the critical line of the complex exponent is the same as that for the product (denoted ${\cal C}(0,1;s)$) of the Riemann zeta function and the Catalan beta function. We then introduce a function which is the quotient of the angular lattice sums ${\cal C}(1,4 m;s)$ with ${\cal C}(0,1;s)$, and use its properties to prove that ${\cal C}(1,4 m;s)$ obeys the Riemann hypothesis for any $m$ if and only if ${\cal C}(0,1;s)$ obeys the Riemann hypothesis. We furthermore prove that if the Riemann hypothesis holds, then ${\cal C}(1,4 m;s)$ and ${\cal C}(0,1;s)$ have the same distribution of zeros on the critical line (in a sense made precise in the proof).

研究の動機と目的

• 複素指数を有する角格子和を数値的に効率よく、指数関数的に収束する方法を開発すること。
• 臨界線 $\Re(s) = 1/2$ 上における角格子和の零点分布を調査すること。
• $\mathcal{C}(1,4m;s)$ におけるリーマン予想と $\zeta(s)\beta(s)$ の積との間の関数的同値性を確立すること。
• リーマン予想が成立する場合、$\mathcal{C}(1,4m;s)$ の零点分布が $\zeta(s)\beta(s)$ と同じになることを示すこと。

提案手法

• 複素解析と格子和の正則化を用いて、角格子和 $\mathcal{C}(n,m;s)$ および $\mathcal{S}(n,m;s)$ の一般かつ絶対収束する表現を導出する。
• Mathematica 7.0.1 を用いた数値的評価により、和の実部および虚部が消える軌跡を計算する。
• 格子和 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ と $\mathcal{C}(0,1;s)$ の比として定義される商関数 $\Delta_{4}(2,4;s)$ を導入し、零点および極の構造の解析を可能にする。
• 臨界線上における交互に現れる極と零点の列を示すために、一定位相の線に沿った線積分と位相解析を適用する。
• 角格子和の関数方程式および対称性を用いて、それらの振る舞いをディリクレ $L$-関数と関連付ける。
• $\mathcal{C}(1,4m;s)$ の臨界線上における零点密度が、$\zeta(s)\beta(s)$ と一階のオーダーで一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 角格子和 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ は、臨界線 $\Re(s) = 1/2$ 上で $\zeta(s)\beta(s)$ と同程度の零点密度を示すか？
• RQ2 $\mathcal{C}(1,4m;s)$ におけるリーマン予想は、$\zeta(s)\beta(s)$ におけるリーマン予想と同値か？
• RQ3 複素 $s$-平面上の一定位相の閉曲線上における零点および極の分布はいかなるものか？
• RQ4 特に臨界帯外において、和の実部および虚部の零点軌跡はどのように振る舞うか？
• RQ5 $\Delta_{4}(2,4;s)$ は、$\mathcal{C}(1,4m;s)$ と $\mathcal{C}(0,1;s)$ 間の零点分布および予想の妥当性の同値性を証明するために用いられるか？

主な発見

• $\mathcal{C}(1,4m;s)$ の角格子和は、臨界線 $\Re(s) = 1/2$ 上で、$\zeta(s)\beta(s)$ と一階のオーダーで一致する零点密度を持つ。
• $\Delta_{4}(2,2;s)$ に対して、平均セル長は 3.92、標準偏差は 0.53 であり、無限遠点における極および零点の平均間隔は約 3.90 である。
• $\Delta_{4}(2,4;s)$ に対して、平均セル長は 3.92、標準偏差は 0.53 であり、無限遠点における極および零点の平均間隔は約 3.90 である。
• 商関数 $\Delta_{4}(2,4;s)$ が、臨界線上で交互に現れる極と零点を持つメロモーレック関数であることが示され、零点分布の同値性を支持する。
• $\mathcal{C}(1,4m;s)$ におけるリーマン予想が成立するための必要十分条件は、$\mathcal{C}(0,1;s) = 4\zeta(s)L_{-4}(s)$ におけるリーマン予想が成立することである。これにより関数的同値性が確立される。
• リーマン予想が成立する場合、位相および曲線解析により、$\mathcal{C}(1,4m;s)$ と $\mathcal{C}(0,1;s)$ は臨界線上で同一の零点分布関数を持つことが証明される。