[論文レビュー] The Riemann-Roch strategy, Complex lift of the Scaling Site

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|May 26, 2018

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有理数のアーベルクラス空間の複素幾何的上昇を、三角構造を備えた楕円曲線のモジュライ空間として実現する。トロピカル降下法を用いて、複素幾何から特徴一の幾何へリーマン・ロッホの結果を移行する。構成は、スケーリング作用を伴う、穴あき単位円板上の解析関数の層を持つ環付きトポスを含み、フロベニウスに類似した写像に関して不変な正則関数を同定し、GL(2)-系および非可換幾何と関連付ける。

ABSTRACT

We describe the Riemann-Roch strategy which consists of adapting in characteristic zero Weil's proof, of RH in positive characteristic, following the ideas of Mattuck, Tate and Grothendieck. As a new step in this strategy we implement the technique of tropical descent that allows one to deduce existence results in characteristic one from the Riemann-Roch result over the complex numbers. In order to deal with arbitrary distribution functions this technique involves the results of Bohr, Jessen and Tornehave on almost periodic functions. Our main result is the construction, at the adelic level, of a complex lift of the adele class space of the rationals. We interpret this lift as a moduli space of elliptic curves endowed with a triangular structure. The equivalence relation yielding the noncommutative structure is generated by isogenies. We describe the tight relation of this complex lift with the GL(2)-system. We construct the lift of the Frobenius correspondences using the Witt construction in characteristic one.

研究の動機と目的

• 特徴一から特徴零へのトロピカル・スケーリング・サイトの複素幾何的上昇を構築すること。
• 特徴一における層コホモロジーの定義の障害を、複素幾何からの存在定理の移行によって克服すること。
• アーベル幾何および非可換幾何を用いて、三角構造を備えた楕円曲線のモジュライ空間を構築すること。
• フロベニウス対応およびウィット構成を介して、複素上昇とGL(2)-系との関係を確立すること。
• 複素上昇を、横断的複素構造がRのほぼ周期的コンパクト化から生じる非可換空間として解釈すること。

提案手法

• トロピカル降下法を用いて、複素解析幾何からスケーリング・サイトのトロピカル設定へリーマン・ロッホ定理を移行する。
• N×による作用の下での穴あき単位円板上に、複素解析関数の構造層を持つ環付きトポスを構成する。
• ジェンセンの公式を介したトロピカル化写像を用い、解析関数に整数値の分岐線形凸関数を対応させ、零点と値の関係を結ぶ。
• 単位円板のpro-étale被覆を含むトポス的構成を用いて、アーベルクラス空間の複素上昇を定義する。
• 特徴一におけるウィット構成を用いて、フロベニウス対応を複素設定へ上昇させる。
• 非可換設定における正則性の一般化として、作用素λX + iYを含む微分条件により正則関数を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素幾何におけるリーマン・ロッホの結果を、トロピカル降下法により特徴一における存在定理へ導くことは可能か？
• RQ2 有理数のアーベルクラス空間を、算術的および非可換構造を保持する複素幾何へどのように上昇させることができるか？
• RQ3 ほぼ周期的関数は、三角構造を備えた楕円曲線のモジュライ空間としての複素上昇を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 特徴一におけるフロベニウス対応は、ウィット構成を用いてどのように複素設定へ上昇されるか？
• RQ5 複素上昇は、スケーリング・サイトの何らかの意味での量子化を提供するのか？また、横断的楕円理論とどのように関係するか？

主な発見

• アーベルクラス空間の複素上昇は、Rのほぼ周期的コンパクト化によってパrameter化される三角構造を備えた楕円曲線のモジュライ空間として実現される。
• N×作用を伴う穴あき単位円板上に構成された環付きトポスは、複素解析関数の構造層を備え、スケーリング・サイトの幾何的上昇を提供する。
• q: Γ_Q,cl → W で定義される関数 q(x+iy) = [e^{-2πy}]e^{2πix} は、微分条件 (λX + iY)χ_λ(q) = 0 を満たす意味で正則であり、フロベニウスに類似した写像 Fr^a_μ に関して不変である。
• 複素上昇はアーベルクラス空間へファイバーをもち、ファイバーはRのほぼ周期的コンパクト化Gである。これは、非可換設定における横断的複素構造を示唆する。
• トロピカル降下法による上昇の構成は、Cから特徴一へのリーマン・ロッホの存在定理を効果的に移行し、トロピカル設定におけるコホモロジー的障害を回避する。
• GL(2)-系は複素上昇と密接に結びついており、特徴一におけるウィット構成を介してフロベニウス対応が複素設定へ上昇される。