[論文レビュー] The Riemannian Hebbarkeitssätze for pseudorigid spaces

João Lourenço|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、混合特徴値を持つ完備離散付値環 $\mathcal{O}_K$ 上の擬リジッド空間に対してリーマンの Hebbarkeitss{"a}tze を確立し、閉部分集合 $Z$ の補集合上で定義された局所的に有界または正則関数が、$\operatorname{codim}_X Z \geq 1$（第一定理）または $\geq 2$（第二定理）のとき、全空間上に一意に拡張されることを証明する。これらの結果は、複素解析的およびリジッド幾何における古典的定理を混合特徴値のアーディック空間へ一般化し、$\mathcal{O}_K$-平坦かつ正規な形式的スキームの全体切断に関するデ・ジョンの定理の新しい証明をもたらす。

ABSTRACT

We prove Riemann's theorems on extensions of functions over certain mixed characteristic analytic adic spaces, first introduced by Johansson and Newton. We use these results to reprove a theorem of de Jong identifying global sections of an $\mathcal{O}_K$-flat normal formal scheme, locally formally of finite type over $\mathcal{O}_K$, with locally powerbounded sections over the generic fibre.

研究の動機と目的

• 混合特徴値の設定における、正則関数および有界関数の除去可能特異点に関する古典的リーマンの定理を、擬リジッド空間へ拡張すること。
• 正規な擬リジッド空間 $X$ における閉部分集合 $Z$ の補集合上で定義された局所的に有界または正則関数が、$\operatorname{codim}_X Z \geq 1$ または $\geq 2$ のとき、全空間上に一意に拡張されることを確立すること。
• $\mathcal{O}_K$-平坦かつ正規な形式的スキームの全体切断を、その一般化領域上の局所的に有界切断と同一視するデ・ジョンの定理の新たな証明を与えること。
• ジャコブソンのアーディック空間および擬リジッド幾何の基礎的道具を構築すること。これには、ノイザーの正規化補題および正則関数・有界関数の移行補題が含まれ、混合特徴値の設定に対応する。

提案手法

• $X = \operatorname{Spa}(A)$ とし、$A$ を $\mathcal{O}_K$-平坦かつ正規な擬アフィン代数とし、$Z$ を特別ファイバーに含まれると仮定して、一般性を失わず、この場合に帰着する。
• ノルム論的計算を用いて、基本的な擬アフィン代数 $D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ 上で Hebbarkeitss{"a}tze を直接検証する。
• 適切な有限性および平坦性条件の下で、$D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ から $A\langle \pi/T^n \rangle$ への有限埋め込みを、ノイザーの正規化補題の適応によって構成する。
• リュートケボームエルトの Hilfssatz 1.7 の類似として、正則関数および有界関数の移行補題を発展させ、特異点を越えて関数を拡張可能にする。
• ザリスキの主要定理および形式的関数の定理を用いて、全体切断問題を定義イデアルが主イデアルである場合に還元する。
• 第一および第二の Hebbarkeitss{"a}tze を適用し、$\mathcal{O}_X^+(X) \to \mathcal{O}_X^+(X\setminus Z)$ および $\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_X(X\setminus Z)$ の制限写像が、余次元条件のもとで同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマンの古典的除去可能特異点定理は、混合特徴値の解析的アーディック空間、特に $\mathcal{O}_K$ 上の擬リジッド空間へ拡張可能か？
• RQ2 閉部分集合 $Z$ の余次元がどのような条件のとき、$X\setminus Z$ 上で定義された局所的に有界または正則関数が、正規な擬リジッド空間 $X$ 全体に一意に拡張可能か？
• RQ3 リジッド空間の結果に類似物がない混合特徴値の文脈において、第一および第二の Hebbarkeitss{"a}tze を、リジッド空間の結果に依存せずに擬リジッド設定で証明可能か？
• RQ4 制限写像 $\mathcal{O}_X^+(X) \to \mathcal{O}_X^+(X\setminus Z)$（それぞれ $\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_X(X\setminus Z)$）が、$\operatorname{codim}_X Z \geq 1$（それぞれ $\geq 2$）のとき同型になるか？
• RQ5 これらの拡張定理を用いて、$\mathcal{O}_K$-平坦かつ正規な形式的スキームの全体切断を、その一般化領域上の局所的に有界切断と同一視するデ・ジョンの定理を再証明可能か？

主な発見

• 第一の Hebbarkeitssatz が成立する：$\operatorname{codim}_X Z \geq 1$ ならば、$\mathcal{O}_X^+(X) \to \mathcal{O}_X^+(X\setminus Z)$ は同型であり、$X\setminus Z$ 上の任意の局所的に有界関数が $X$ 上に一意に拡張可能である。
• 第二の Hebbarkeitssatz が成立する：$\operatorname{codim}_X Z \geq 2$ ならば、$\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_X(X\setminus Z)$ は同型であり、$X\setminus Z$ 上の任意の関数が $X$ 上に一意に拡張可能である。
• デ・ジョンの定理の新たな証明が与えられる：正規で $\mathcal{O}_K$-平坦な形式的スキーム $\mathfrak{X}$ で、$\mathcal{O}_K$ 上局所的に有限型であるものに対して、全体切断 $\mathcal{O}_\mathfrak{X}(\mathfrak{X})$ は、解析的局所 $\mathfrak{X}_a$ 上の局所的に有界切断の環と同型である。すなわち、$\mathcal{O}_\mathfrak{X}(\mathfrak{X}) \cong \mathcal{O}_\mathfrak{X}^+(\mathfrak{X}_a)$ である。
• $\mathcal{O}_K$-平坦な擬アフィン代数に対して、ノイザーの正規化補題が確立され、$k((T))$-アフィン写像を十分大きな $n$ に対して $D_n$ 上の擬アフィン代数へ有限に上げられる。これは拡張の議論において不可欠である。
• 残差体 $k$ が代数的に閉じているとき、$\mathcal{O}_K$-平坦かつ正規な形式的スキームのカテゴリから、三つ組 $(X,Y,p)$ のカテゴリへの関手 $\mathfrak{X} \mapsto (\mathfrak{X}_a, \mathfrak{X}_{\text{red}}, \operatorname{sp}_\mathfrak{X})$ は完全忠実である。
• 同様に、$\mathfrak{X}_a$ と $\mathfrak{X}_{\text{red}}$ の代わりに一般化領域 $\mathfrak{X}_\eta$ と特別ファイバーの完全化を用いることで、同様の完全忠実関手が得られる。同じ仮定のもとで成り立つ。