[論文レビュー] The rigidity theorems for Lagrangian self shrinkers

Qi Ding, Y. L. Xin|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、漂移ラプラシアン作用素 ℒ を用いた積分法に基づき、擬ユークリッド空間 ℝ²ⁿⁿ およびユークリッド空間 ℝ²ⁿ におけるラグランジュ自己収縮写像の剛性定理を確立する。任意の整関数で滑らかかつ凸な解が自己収縮写像方程式を満たす場合、その解は二次多項式に限られることを示し、先行研究で要請されていたヘッセ行列の減衰条件を不要にした。また、漂移ラプラシアン作用素と重み付き部分積分の新規応用により、従来の結果を拡張した。

ABSTRACT

By the integral method we prove that any space-like entire graphic self-shrinking solution to Lagrangian mean curvature flow in $\R^{2n}_{n}$ with the indefinite metric $\sum_i dx_idy_i$ is flat. This result improves the previous ones in \cite{HW} and \cite{CCY} by removing the additional assumption in their results. In a similar manner, we reprove its Euclidean counterpart which is established in \cite{CCY}.

研究の動機と目的

• 不定計量 ∑dxᵢdyᵢ を持つ擬ユークリッド空間 ℝ²ⁿⁿ におけるラグランジュ自己収縮写像の剛性定理を確立すること。
• 先行研究 [9] および [1] で要請されていた、自己収縮写像方程式の整関数解を分類する際の u のヘッセ行列の減衰条件を除去すること。
• 最大原理を用いないで、漂移ラプラシアン作用素 ℒ と積分法を用いて、ユークリッド空間における剛性結果を再証明することにより、新たな証明戦略を提示すること。
• 位相関数 Θ = ∑arctanλᵢ が ℒΘ = 0 を満たすことを示し、これにより積分推定を用いて定数性を証明できるようにすること。

提案手法

• 重み付き測度 e⁻¹⁴ˣ·Du により定義される漂移ラプラシアン作用素 ℒ を導入し、ヘッセ行列の行列式の対数 φ = log det D²u の時間発展を記述する。
• 切り上げ関数 η と重み e⁻¹⁴ˣ·Du を用いた部分積分を適用し、∇φ および ∇Θ のエネルギー推定を得る。
• 自己収縮写像方程式 (1.2) から導かれる、擬ユークリッド空間における φ = log det D²u に対して ℒφ = 0 が成り立つという恒等式を用い、最大値原理および積分法を適用する。
• ∫|∇φ|²η²ρ dμ ≤ C∫|∇η|²φ²ρ dμ を示し、|∇η|²/|x|² に対する体積成長および減衰条件のもとで φ が定数であることを示す。
• ユークリッド空間における位相関数 Θ = ∑arctanλᵢ が ℒΘ = 0 を満たすことを再解釈し、同様の積分法を用いて Θ が定数であることを証明する。
• バリア関数およびヘッセ行列またはサブハーモニック関数 Δv の減衰条件を用い、logΔv = ½x·Dv − v を満たす解が二次多項式であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定計量を持つ ℝ²ⁿⁿ におけるラグランジュ自己収縮写像方程式の整関数で滑らかかつ凸な解 u は、ヘッセ行列に追加の減衰条件を課さずに常に二次多項式であるか？
• RQ2 最大原理を用いないで、漂移ラプラシアン作用素 ℒ と積分法を用いて、ℝ²ⁿ における整関数ラグランジュグラフの剛性結果を再証明できるか？
• RQ3 Δv や det D²u の成長に関するどのような条件が、logΔv = ½x·Dv − v の解が二次多項式であることを保証するか？
• RQ4 ℝ²ⁿ における整関数ラグランジュ自己収縮写像上での位相関数 Θ = ∑arctanλᵢ は定数であるか？ また、漂移ラプラシアンを用いてその定数性を示せるか？
• RQ5 切り上げ関数の勾配に関するどの程度の減衰条件が、積分法によって φ = log det D²u が定数であることを示すに十分か？

主な発見

• ℝⁿ における方程式 log det D²u = ½x·Du − u の任意の整関数で滑らかかつ凸な解 u は、ヘッセ行列の減衰条件を要せず、二次多項式に限られる。これは [9] や [1] の先行結果を改善するものである。
• 漂移ラプラシアン作用素 ℒ は φ = log det D²u に対して ℒφ = 0 を満たし、これにより積分推定を用いた剛性証明が可能になる。
• ℝ²ⁿ におけるラグランジュグラフ上での位相関数 Θ = ∑arctanλᵢ は ℒΘ = 0 を満たし、積分推定を用いて定数であることが示され、これにより解が二次多項式であることが導かれる。
• 方程式 logΔv = ½x·Dv − v に対して、Δv が無限遠で十分に速く成長する（例えば Δv ≥ C/(|x|²log|x|)）ならば、v は二次多項式である。
• n ≥ 3 に対して φ(x) = log(2n−4) − 2log|x| という反例に類似した関数を構成し、ℝⁿ∖{0} 上で漂移方程式 ℒφ = 0 を満たすことを示し、グローバル正則性の必要性を示している。
• ∫ℝⁿ∖Br |Dη|²/|x|² e⁻ϕ e⁻|x|²/⁴eϕ → 0 (r→∞) という減衰条件が、φ が定数であることを示すのに十分であり、これは eϕ に対するやや緩い成長仮定のもとで成り立つ。