[論文レビュー] The role of the equation of state and the space-time dimension in spherical collapse

Naresh Dadhich, Suman Ghosh+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高次元時空における径方向圧力を持つ完全流体の球対称収縮を、状態方程式 $P_r = \gamma\rho$ を用いて検討する。最終的特異点がブラックホールかネkked特異点かを規定する正確な根方程式を導出し、驚くべき等価性を明らかにする：$D$次元における-dust、$D-1$次元におけるde Sitter様流体（$\gamma=1$）、$D+1$次元におけるanti-de Sitter様流体（$\gamma=-1$）は、収縮結果として物理的に区別できない。

ABSTRACT

We study the spherically symmetric collapse of a fluid with non-vanishing radial pressure in higher dimensional space-time. We obtain the general exact solution in the closed form for the equation of state ($P_r = γρ$) which leads to the explicit construction of the root equation governing the nature (black hole versus naked singularity) of the central singularity. A remarkable feature of the root equation is its invariance for the three cases: (${D+1}, {γ= -1}$), (${D}, {γ= 0}$) and (${D - 1}, {γ= 1}$) where $D$ is the dimension of space-time. That is, for the ultimate end result of the collapse, $D$-dimensional dust, ${D+1}$ - AdS (anti de Sitter)-like and ${D-1}$ - dS-like are absolutely equivalent.

研究の動機と目的

• 時空次元 $D$ と状態方程式パラメータ $\gamma$ が球対称重力収縮（径方向圧力付き）に与える影響を分析すること。
• 収縮がブラックホールかネkked特異点を生じるかの条件を特定すること、特に宇宙 censorship 予想に注目すること。
• 時空次元を増加させ、$\gamma$ を変化させた場合、ネkked特異点を生じるパラメータ空間に与える影響を調査すること。
• 状態方程式 $P_r = \gamma\rho$ を満たす $D$ 次元時空における収縮力学の正確で閉形式の解を導出すること。
• 中心特異点の性質を規定する普遍的な根方程式を特定し、異なる次元および状態方程式設定の間の隠れた対称性を明らかにすること。

提案手法

• $D = n+2$ 次元における球対称で不均一な流体（径方向圧力あり、接線方向圧力ゼロ）に対するアインシュタイン方程式の正確な解を導出する。
• 共動座標を用いて計量を表現し、エネルギー運動量テンソル $T^a_b = \text{diag}(\rho, -P_r, -P_\theta, \dots)$ を適用して場の方程式を得る。
• 質量関数 $m(r,t)$ を導入し、$m'$ と $\dot{m}$ の進化方程式を導出し、エネルギー密度および径方向圧力と関連付ける。
• 特異点付近の外部光線の径方向測地線方程式を、補助変数 $u = r^\alpha$ および $X = Y/u$ への変換を用いて解く。
• 特異点における $Y$ と $u$ の比の極限値 $y_0 = \sqrt{X_0}$ を用いたマスタールート方程式を導出し、特異点の可視性を決定する。
• ルート方程式 $y_0^{2(n+\gamma)} + \frac{n+\gamma-1}{2}\Theta y_0^{n+\gamma+1} - y_0^{n+\gamma-1} + \Theta = 0$ を分析し、実数の正の根の存在を確認することで、ネkked特異点の存在を判定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空次元 $D$ は、球対称収縮におけるブラックホールとネkked特異点の形成にどのように影響を与えるか？
• RQ2 状態方程式パラメータ $\gamma$（$P_r = \gamma\rho$）は、中心特異点の可視性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 高次元において宇宙 censorship 予想が破られる可能性はあるか？ もしあるならば、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 異なる時空次元と $\gamma$ の組み合わせが同じ収縮結果を生じる、隠れた対称性や等価性が存在するか？
• RQ5 径方向圧力の存在は、dust モデルと比較して収縮の定性的な結果をどのように変えるか？ また、次元性とどのように相互作用するか？

主な発見

• 中心特異点の性質を規定するルート方程式は、変換 $ (D, \gamma) \to (D-1, \gamma+1) $ に対して不変であり、深い対称性を示している。
• dust が $D$ 次元で収縮する場合（$\gamma=0$）、de Sitter 様流体が $D-1$ 次元で収縮する場合（$\gamma=1$）、および anti-de Sitter 様流体が $D+1$ 次元で収縮する場合（$\gamma=-1$）の収縮結果は、物理的に区別できない。
• $D=4$ および $\gamma=-1$ の場合、ルート方程式は常に正の実数解を持つため、特異点は常にネkkedであると示され、強宇宙 censorship 予想に反する。
• $D$ が増加するにつれ、ネkked特異点を生じるパラメータ領域は狭まり、高次元重力はネkked特異点よりもブラックホール形成を好む傾向にある。
• マスタールート方程式に正の実数解が存在することは、ネkked特異点形成の必要十分条件であり、二重根はブラックホールとネkked特異点の境界を示す。
• $D \geq 6$ の各 $D$ に対して、初期データパラメータ $\Theta$ の非ゼロ測度の集合が存在し、その場合に収縮はネkked特異点を生じる。これは、高次元において非自明な初期条件のクラスで宇宙 censorship が破られる可能性を示唆する。