[論文レビュー] The Schützenberger product for syntactic spaces

Mai Gehrke, Daniela Petrişan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2016

semigroups and automata theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正則性を超える形式的言語のための双対性理論的枠組みを提示する。正則性を超える言語の構文的認識者として、内部モノイドを備えたブール空間を定義し、シュッツェンベルガー積をこれらの空間へ一般化する。論理式 ∃x.Φ(x) のモデルの言語を正しく捉えるために、∃x.Φ(x) の認識者に対するユニタリ・シュッツェンベルガー積を示し、Stone双対性とヴェトリス構成を用いて、古典的結果を非正則設定へ拡張する。

ABSTRACT

Starting from Boolean algebras of languages closed under quotients and using duality theoretic insights, we derive the notion of Boolean spaces with internal monoids as recognisers for arbitrary formal languages of finite words over finite alphabets. This leads to a setting that is well-suited for applying existing tools from Stone duality as applied in semantics. The main focus of the paper is the development of topo-algebraic constructions pertinent to the treatment of languages given by logic formulas. In particular, using the standard semantic view of quantification as projection, we derive a notion of Schützenberger product for Boolean spaces with internal monoids. This makes heavy use of the Vietoris construction, and its dual functor, which is central to the coalgebraic treatment of classical modal logic. We show that the unary Schützenberger product for spaces, when applied to a recogniser for the language associated to a formula with a free first-order variable, yields a recogniser for the language of all models of the corresponding existentially quantified formula. Further, we generalise global and local versions of the theorems of Schützenberger and Reutenauer characterising the languages recognised by the binary Schützenberger product. Finally, we provide an equational characterisation of Boolean algebras obtained by local Schützenberger product with the one element space based on an Egli-Milner type condition on generalised factorisations of ultrafilters on words.

研究の動機と目的

• 正則言語を超える代数的言語理論を、構文的認識者の双対性に基づく枠組みを導入することで拡張すること。
• 位相的および代数的道具を用いて、一階論理の量子化が言語認識に与える影響を形式化すること。
• 非正則言語のための、内部モノイドを備えたブール空間へのシュッツェンベルガー積の構成を一般化すること。
• 論理的量子化のための位相的代数的基盤を提供し、等式的特徴付けを可能にすること。
• ユニタリ・シュッツェンベルガー積の文脈における超フィルター方程式の完全性結果を確立すること。

提案手法

• Stone双対性を用いて、有限アルファベット上の任意の形式的言語のための、内部モノイドを備えたブール空間を認識者として導出する。
• ヴェトリス関手とその双対を適用し、存在量子化を射影としてモデル化することで、ユニタリ・シュッツェンベルガー積の構成を可能にする。
• 離散モノイド M に対するユニタリ・シュッツェンベルガー積 □M を定義し、M が LΦ を認識するとき、□M が ∃x.Φ(x) の言語を正しく認識することを示す。
• ユニタリ積を内部セミグループを備えたブール空間 (X,S) に拡張し、(□X, □S) が (X,S) 上の言語の存在的閉包を認識することを証明する。
• 内部モノイドを備えたブール空間への二項シュッツェンベルガー積を導入し、言語の連結積と関連付ける。
• 超フィルター方程式とStone-Čechコンパクト化を用いて、ユニタリ・シュッツェンベルガー積によって生成されるブール代数の等式的特徴付けを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正則設定において、有限モノイドから内部モノイドを備えたブール空間へのシュッツェンベルガー積の一般化はどのように達成できるか？
• RQ2 形式的言語理論における存在量子化の位相的代数的双対は何か？ そしてヴェトリス構成とどのように関係するか？
• RQ3 M が LΦ を認識するとき、ユニタリ・シュッツェンベルガー積を LΦ の認識者に適用した際に、なぜ ∃x.Φ(x) の言語を正しく認識できるのかをどのように示せるか？
• RQ4 ブール空間設定におけるユニタリおよび二項シュッツェンベルガー積によって認識される言語の特徴付けは、どのように導出できるか？
• RQ5 ユニタリ・シュッツェンベルガー積によって生成されるブール代数に対して、完全な等式的公理化を提供できるか？

主な発見

• 離散モノイド M に対するユニタリ・シュッツェンベルガー積 □M は、M が LΦ を認識するとき、∃x.Φ(x) のすべてのモデルの言語を正しく認識する。
• 内部セミグループを備えたブール空間 (X,S) に対するユニタリ・シュッツェンベルガー積 □(X,S) の構成は、定理4.13で形式化されたように、(X,S) 上の言語の存在的閉包を認識する認識者をもたらす。
• 内部モノイドを備えたブール空間への二項シュッツェンベルガー積は、言語の連結積に対応し、非正則設定へのルエンタウアーの定理の一般化を実現する。
• 超フィルター方程式を用いて、ブール代数 B □+ 2 の等式的特徴付けが提供され、定理6.3がStone-Čechコンパクト化上で完全性を確立する。
• この枠組みにより、双対性理論的一般化が可能となり、内部モノイドを備えたブール空間が [8] におけるものと同値であるが、Stone双対性の既存ツールにさらに適していることが示される。
• ヴェトリス関手とその双対は、射影による量子化の意味論をモデル化する中心的役割を果たし、論理的量子化のコアルゲブラ的基盤を提供する。