[論文レビュー] Varieties of Languages in a Category

Jiřı́ Adámek, Stefan Milius+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

semigroups and automata theory参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Eilenbergの多様体定理を抽象的な圏的枠組みへ一般化し、有限対象において双対的であると仮定した場合、圏𝒞における言語の多様体と双対閉モノイダル圏𝒟におけるモノイドの擬多様体の間の全単射対応を確立する。主な貢献は、Eilenbergの元々の定理および順序モノイド、冪等的半環、有限体上の代数のための変種を統合する一様な圏的基盤を提供することであり、またゼロをもつモノイドのための新しい対応を導出する。

ABSTRACT

Eilenberg's variety theorem, a centerpiece of algebraic automata theory, establishes a bijective correspondence between varieties of languages and pseudovarieties of monoids. In the present paper this result is generalized to an abstract pair of algebraic categories: we introduce varieties of languages in a category C, and prove that they correspond to pseudovarieties of monoids in a closed monoidal category D, provided that C and D are dual on the level of finite objects. By suitable choices of these categories our result uniformly covers Eilenberg's theorem and three variants due to Pin, Polak and Reutenauer, respectively, and yields new Eilenberg-type correspondences.

研究の動機と目的

• Eilenbergの多様体定理とその既知の変種（Pin, Polák, Reutenauer）を、一つの抽象的圏的枠組みで統一すること。
• 双対圏における言語の多様体とモノイドの擬多様体の間の一般対応を確立すること。
• 圏の双対ペア（𝒞,𝒟）の条件下で、Eilenberg型定理の適用範囲をゼロをもつモノイドなどの新しい代数的構造へ拡張すること。
• 有理的不動点と自己関手を用いて、正規言語と行動の余代数的基盤を提供すること。
• 任意の双対ペアの圏（𝒞,𝒟）に対して、準有限構成と文法的モノイドを一般化する基盤を構築すること。

提案手法

• 局所的有限な多様体𝒞上で定義された自己関手TΣに対して、決定的Σ-自動機をTΣQ → Qの形の余代数としてモデル化する。
• 有理的不動点ϱTΣを、局所的に有限なTΣ-余代数としての終対象とし、Σ上の正規言語の全集合を表す。
• 各有限アルファベットΣに対してϱTΣを、置換h:Δ→Σに対して前像射ϕ:ϱTΣ → ϱTΔを定める、Set_f^op → 𝒞への反変関手ϱTを構成する。
• ブール演算や準同型写像の閉包の一般化として、前像および微分（左/右）に関して閉じた、ϱTの部分関手V ⊆ ϱTとして言語の多様体を特徴付ける。
• 圏𝒞と𝒟の間で双対性を確立し、𝒞と𝒟における有限代数が双対的に同値となるようにし、言語多様体とモノイドの擬多様体の間の対応を可能にする。
• 𝒟における閉じたモノイダル構造を用いて𝒟-モノイドを定義し、これらにおける擬多様体が𝒞における行動の多様体と一対一に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eilenbergの多様体定理は、圏論を用いて古典的モノイドを超えて、他の代数的構造へ一般化可能か？
• RQ2 言語多様体の閉包性質（例：ブール演算、微分、前像）は、余代数的かつ圏論的枠組みで一様に捉えられるか？
• RQ3 双対ペア（𝒞,𝒟）が、𝒞における言語多様体と𝒟-モノイドの擬多様体の間の全単射対応を保証するための条件は何か？
• RQ4 既知のEilenberg定理の変種（順序モノイド、冪等的半環、有限体上の代数）は、単一の圏的構成の特別な場合として得られるか？
• RQ5 この一般枠組みから、ゼロをもつモノイドや他の代数的系のための新しいEilenberg型対応はどのようなものか？

主な発見

• 論文は一般Eilenberg型対応を確立する：𝒞における行動の多様体のラティスは、𝒞と𝒟が有限対象において前双対的であるという仮定の下で、𝒟-モノイドの擬多様体のラティスと同型である。
• Eilenbergの元々の定理は、𝒞 = ブール代数、𝒟 = 集合のときの特別な場合として得られる。このとき𝒟-モノイドは通常のモノイドである。
• Pinの正の言語多様体と順序モノイドの擬多様体に関する結果は、𝒞 = 0,1付き分配的ラティス、𝒟 = 偏順集合のとき回復される。
• Polákの選言的多様体と冪等的半環の擬多様体に関する結果は、𝒞 = 0付き結合半ラティス、𝒟 = 𝒞（自己前双対）のとき得られる。このとき𝒟-モノイドは冪等的半環である。
• Reutenauerの有理的級数と有限体𝕌上の代数に関する対応は、𝒞 = 𝒟 = 𝕌-Vecのとき回復される。このとき𝒟-モノイドは𝕌-代数である。
• ゼロをもつモノイドのための新しいEilenberg型対応が、𝒞 = 非ユニタールブール環、𝒟 = 指定された集合のとき導出される。このとき𝒟-モノイドはゼロをもつモノイドである。