[論文レビュー] The Schottky problem in genus five

Charles Siegel|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、6次曲線のPrym写像を分析し、$β_5$の纤维上のインシデント構造を用いることで、5次におけるシュットキー問題を解決する。$χ_5^{\text{small}}$ が正確にジャコビアンのlocus $χ_5$ に一致することを証明し、ドナギの長年の予想を解決するとともに、5次における小シュットキーlocusの既約性を確認する。

ABSTRACT

In this paper, we present a solution to the Schottky problem in the spirit of Schottky and Jung for genus five curves. To do so, we exploit natural incidence structures on the fibers of several maps to reduce all questions to statements about the Prym map for genus six curves. This allows us to find all components of the big Schottky locus and thus, to show that the small Schottky locus introduced by Donagi is irreducible.

研究の動機と目的

• principally polarized abelian varieties のモジュライ空間内におけるジャコビアンlocusを特徴付けることにより、5次におけるシュットキー問題を解決すること。
• $\mathcal{S}_5^{\text{small}}$ が既約であり、かつジャコビアンlocus $\mathcal{J}_5$ に等しいことを証明すること。
• twisted Prym多様体のモジュライ空間上での写像 $\beta_5$ の退化と収縮されたlocusの分析を通じて、シュットキー＝ジャンク計画を拡張すること。
• インシデント構造と局所次数の計算を用いて、5次における大シュットキーlocusの成分を完全に分類すること。

提案手法

• $\beta_5$ を用いて twisted Prym多様体のモジュライ空間から $\mathcal{A}_4$ への写像を分析し、$\mathbb{F}_2$ 上の $Q_6^-$-配置を用いてその纤维を調べる。
• $\mathbb{F}_2$ 上の点-直線配置におけるインシデント幾何学を適用し、$\beta_5$ の次数を計算する。その値は119に達する。
• イザディの研究に基づく5次におけるアーベル多様体の退化の研究により、$\alpha_4(\mathcal{A}_4)$ の逆像内の成分の分類が可能になる。
• $\beta_5$ の収縮されたlocusを分析することで、正の局所次数を持たない成分を特定し、シュットキーlocusに寄与する関連成分を特定する。
• $\overline{\mathcal{RJ}}_5$、$\overline{\mathcal{RC}^0}$、および $\partial^I\overline{\mathcal{RA}}_5^t$ における局所次数の計算を行い、それぞれ54、1、64の値が得られる。
• 局所次数の合計（1 + 54 + 64 = 119）により、他の成分がシュットキーlocusに寄与しないことが確認され、分類が完成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次において、小シュットキーlocus $\mathcal{S}_5^{\text{small}}$ は既約であり、かつジャコビアンlocus $\mathcal{J}_5$ に等しいか？
• RQ2 $\beta_5^{-1}(\alpha_4(\mathcal{A}_4))$ のうち、正の局所次数を持つ成分はどれか？
• RQ3 写像 $\beta_5$ の総次数は何か？ そして、それがシュットキーlocusの構造にどのような制約を課えるか？
• RQ4 Prym写像幾何学と退化技術を用いて、5次におけるシュットキー＝ジャンク予想を修正・検証できるか？
• RQ5 twisted Prym多様体のモジュライ空間におけるどのlocusが $\beta_5$ によって収縮され、それがシュットキーlocusにどのように影響を与えるか？

主な発見

• $\beta_5$ の次数は、$\mathbb{F}_2$ 上の $Q_6^-$-配置におけるインシデント構造を用いて計算され、119に達する。
• $\beta_5^{-1}(\alpha_4(\mathcal{A}_4))$ の成分の中で、唯一収縮されるのは $\mathcal{A}_4 \times \mathcal{RA}_1$ である。他のすべての成分は正の局所次数を持つ。
• $\beta_5$ の局所次数は、$\overline{\mathcal{RC}^0}$ で1、$\overline{\mathcal{RJ}}_5$ で54、$\partial^I\overline{\mathcal{RA}}_5^t$ で64であり、合計は119に達する。
• 局所次数の合計により、$\mathcal{RS}_5$ の他の成分がシュットキーlocusに寄与しないことが確認され、$\mathcal{RS}_5 = \overline{\mathcal{RJ}}_5 \cup \overline{\mathcal{RC}^0} \cup \partial^I\overline{\mathcal{RA}}_5^t \cup \mathcal{A}_4 \times \mathcal{RA}_1$ が成立する。
• すべての非ゼロ2-torsion点を持つのはジャコビアンに限られるため、$\mathcal{S}_5^{\text{small}} = \mathcal{J}_5$ が成り立つ。
• ジャコビアンlocus $\mathcal{J}_5$ が既約であるため、小シュットキーlocus $\mathcal{S}_5^{\text{small}}$ も既約である。