[論文レビュー] The Schwarz type Lemmas and the Landau type theorem of mappings satisfying Poisson's equations

Shaolin Chen, David Kalaj|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2017

Analytic and geometric function theory参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ポアソン方程式 Δf = g を満たす複素数値写像に対して、シュバルツ型補題およびランデウ型定理を確立する。グリーン関数およびポアソン核による積分表現を用いることで、|f(z) − c| および境界微分の鋭い評価を得ており、調和関数および正則関数に対する古典的結果を、一般の連続データ g を持つポアソン方程式の解へと拡張している。

ABSTRACT

For a given continuous function $g:~Ω ightarrow\mathbb{C}$, we establish some Schwarz type Lemmas for mappings $f$ in $Ω$ satisfying the { m PDE}: $Δf=g$, where $Ω$ is a subset of the complex plane $\mathbb{C}$. Then we apply these results to obtain a Landau type theorem, which is a partial answer to the open problem in \cite{CP}. %The obtained results are

研究の動機と目的

• 正則関数および調和写像に対する古典的シュバルツおよびランデウの定理を、ポアソン方程式 Δf = g を満たす解へと拡張すること。
• 文献[13]における未解決問題に応えるために、ポアソン方程式を満たす写像に対するランデウ型定理を確立すること。
• 単位円板内における Δf = g の解 f の振動および境界挙動に対する鋭い推定を導出すること。
• 古典的シュバルツ＝ピックの不等式を演算子ノルム ‖D_f(z)‖ に対して一般化し、ポアソン方程式の解へと拡張すること。
• g の L∞-ノルムに依存する半径 r₀ の円板内で、解 f に対する局所的単射性および双リプシッツ性を示すこと。

提案手法

• 境界データ ψ のポアソン積分 P_ψ と g のグリーンポテンシャル G_g を用いて、f = P_ψ − G_g という積分表現を用いる。
• グリーン関数 G(z,w) およびポアソン核 P(z,e^{it}) の推定を適用し、z=0 における f(z) の平均値からのずれを制御する。
• f = P_f + G_g の分解と ∂G_g/∂z、∂G_g/∂z̄ の推定を用いて、形式的微分 D_f の評価を導出する。
• |z| および r₀ を含む積分推定を用いて、ドメイン 𝔻_{r₀} 内での f の振動を制御し、単射性および双リプシッツ推定に至る。
• injectivity を保証するため、不等式 λ(D_f(0)) ≥ 1/(4M₂/π + 2M₁/3) を用いる。
• 単射性条件を満たす r₀ を解き、像領域 f(𝔻_{r₀}) が少なくとも半径 R₀ の円板 𝔻_{R₀} を含むこと、すなわち R₀ の下界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的シュバルツ補題を、ポアソン方程式 Δf = g を満たす複素数値写像へとどのように拡張できるか？
• RQ2 c が境界上での f の平均値であるとき、Δf = g の解 f に対して |f(z) − c| の鋭い評価は何か？
• RQ3 ポアソン方程式の解に対して、境界微分に関する推定を伴うランデウ型定理を確立できるか？
• RQ4 解 f が円板内で局所的単射性および双リプシッツ性を示すための条件は何か？
• RQ5 g の L∞-ノルムは、f による像領域の単射的円板の半径にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は、不等式 |f(z) − (1−|z|²)/(1+|z|²) ∫₀²ᵖⁱ ψ(e^{it})dt| ≤ (4‖P_ψ‖_∞/π) arctan|z| + (‖g‖_∞/4)(1−|z|²) を確立し、調和関数に対する古典的シュバルツ補題を一般化している。
• 例 f(z) = M(1−|z|²) により、z=0 および境界 T で評価が鋭いことが示されている（g(z) = −4M）。
• Δf = g かつ ‖g‖_∞ < 8/(3π) を満たす解 f に対して、境界における微分係数の下界が liminf_{r→1⁻} |f(ζ)−f(rζ)|/(1−r) ≥ 2/π − 3‖g‖_∞/4 を満たすことが示され、古典的境界シュバルツ補題が拡張されている。
• g ≡ 0 のとき、ランデウ型定理は鋭く、正則関数に対する古典的結果が回復される。
• 微分の演算子ノルムは、‖D_f(z)‖ ≤ (4M₂/π)(1−|z|²)⁻¹ + (2/3)M₁ を満たす。ここで M₁ = ‖g‖_∞、M₂ = ‖P_f‖_∞ である。
• 1/(4M₂/π + 2M₁/3) − (4M₂/π)(r₀(2−r₀))/(1−r₀)² − 2M₁[(log 4(1+r₀) − log r₀)(2+r₀)r₀] = 0 を満たす r₀ に対して、写像 f は 𝔻_{r₀} 内で単射であり、f(𝔻_{r₀}) は半径 R₀ ≥ (2M₂/π)(r₀²(2−r₀))/(1−r₀)² の円板 𝔻_{R₀} を含む。