[論文レビュー] The second homology group of current Lie algebras

Pasha Zusmanovich|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、特性 $ p \neq 2 $ の体上のリー代数 $ L $ と可換な結合的代数 $ A $ に対して、現在のリー代数 $ L \otimes A $ の第二ホモロジー群 $ H_2(L \otimes A) $ の完全な分解公式を確立する。ホフプの公式とホモロジー代数の技法を用いて、$ H_2(L) \otimes A $、$ B(L) \otimes HC_1(A) $、および $ L $ と $ A $ のアーベル化および対称・反対称積からの torsion 項を含む同型を証明し、アフィン・カク＝ムーディ代数の既知の中心拡大を一般化する。

ABSTRACT

This is an old paper put here for archeological purposes. We derive a general formula expressing the second homology of a Lie algebra of the form L\otimes A with coefficients in the trivial module through homology of $L$, cyclic homology of $A$, and other invariants of $L$ and $A$. This is achieved by using the Hopf formula expressing the second homology of a Lie algebra in terms of its presentation. We also derive a similar formula for the associated Lie algebra of the tensor product of two associative algebras.

研究の動機と目的

• アフィン・カク＝ムーディ代数の既知の中心拡大を、任意の現在のリー代数 $ L \otimes A $ に一般化すること。
• $ H_2(L \otimes A) $ の第二ホモロジー群を $ L $ と $ A $ の不変量を用いて完全に分解すること。
• 特性 $ p \neq 2 $ の体上で有効な一般同型を導出することにより、$ H_2(L \otimes A) $ に関する以前の部分的結果を統一・拡張すること。
• $ (A \otimes B)^{(-)} $ におけるリー代数構造を介して、非可換結合的代数へと公式を拡張すること。

提案手法

• 自由リー代数 $ \mathcal{L} $ を用いた提示 $ 0 \to I \to \mathcal{L} \to L \to 0 $ に対して、ホフプの公式 $ H_2(L) \simeq ([\mathcal{L}, \mathcal{L}] \cap I)/[\mathcal{L}, I] $ を用いる。
• $ H_2^{\text{ess}}(L) $ に対して、精製されたホフプの公式を適用し、アーベル化からの本質的サイクルを分離する。
• 自由リー代数とそのイデアルのテンソル積を用いて、現在の代数 $ L \otimes A $ の提示を構成する。
• 3×3 レムマと図式引き（diagram chasing）を用いて、ホモロジーおよびコホモロジーの完全系列を分析する。
• 非可換の場合には、サイクル空間における直接計算と微分の像による商を用いて $ H_2((A \otimes B)^{(-)}) $ を計算する。
• 同型 $ H_2((A \otimes B)^{(-)}) \simeq F(A,B) \oplus F(B,A) $ を用い、ここで $ F $ は巡回ホモロジーおよび torsion 項を含む特定のホモロジー成分を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 $ p \neq 2 $ の体上の現在のリー代数 $ L \otimes A $ に対して、第二ホモロジー群 $ H_2(L \otimes A) $ の構造は何か？
• RQ2 $ H_2(L \otimes A) $ の公式は、アフィン・カク＝ムーディ代数の既知の中心拡大をどのように一般化するか？
• RQ3 $ (A \otimes B)^{(-)} $ におけるリー代数構造を介して、$ H_2(L \otimes A) $ の分解を非可換結合的代数へと拡張できるか？
• RQ4 巡回ホモロジー $ HC_1(A) $、コインバリアント $ B(L) $、および $ T(A) $ のような torsion 加群は、分解において果たす役割は何か？

主な発見

• 第二ホモロジー群 $ H_2(L \otimes A) $ は、次の標準的同型を備える: $ H_2(L) \otimes A \oplus B(L) \otimes HC_1(A) \oplus \wedge^2(L/[L,L]) \otimes \ker(S^2(A) \to A) \oplus S^2(L/[L,L]) \otimes T(A) $。
• $ L = [L,L] $ のとき、$ \wedge^2(L/[L,L]) $ および $ S^2(L/[L,L]) $ の項は消え、公式が簡略化される。
• $ B = M_n(K) $ のとき、わずかな修正を加えることで、既知の同型 $ H_2(sl_n(A)) \simeq HC_1(A) $ を回復する。
• 非可換結合的代数 $ A $ と $ B $ に対して、$ (A \otimes B)^{(-)} $ の第二ホモロジーは $ F(A,B) \oplus F(B,A) $ に分解され、ここで $ F $ は巡回ホモロジーおよび torsion 加群を用いて定義される。
• 項 $ T(A) $ は、$ a,b,c \in A $ に対して $ ab \wedge c + ca \wedge b + bc \wedge a $ の形の要素によって生成され、$ A $ 内の反対称関係を捉える。
• ホフプの公式と図式引きに基づく証明技法は、特性 $ p \neq 2 $ の体上で有効な、従来の方法とは異なる新規で統一的なアプローチを提供する。