[論文レビュー] The second law of thermodynamics for pure quantum states

Sheldon Goldstein, Takashi Hara+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2013

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、統計的集合を用いず、混合状態を含まずに、純粋な量子状態とユニタリダイナミクスのみを用いて、孤立系における熱力学第二法則の版を証明する。典型的な待ち時間τに対して、最終エネルギーが初期エネルギーE₀未満である確率は無視できるほど小さいことが示され、熱力学的不可逆性が量子力学そのものから生じることを確立する。

ABSTRACT

A version of the second law of thermodynamics states that one cannot lower the energy of an isolated system by a cyclic operation. We prove this law without introducing statistical ensembles and by resorting only to quantum mechanics. We choose the initial state as a pure quantum state whose energy is almost E_0 but not too sharply concentrated at energy eigenvalues. Then after an arbitrary unitary time evolution which follows a typical "waiting time", the probability of observing the energy lower than E_0 is proved to be negligibly small.

研究の動機と目的

• 統計的集合や混合状態に依存せずに、熱力学第二法則を確立すること。
• 初期状態が純粋状態である場合に、孤立系において循環的操作によってエネルギーを低下させることができないことを示すこと。
• 熱力学第二法則がユニタリ量子ダイナミクスと典型的な待ち時間から生じることを示し、非平衡初期状態に対しても成り立つこと。
• 初期状態の不確実性と典型性が、量子力学から熱的挙動がどのように生じるかを明確にすること。

提案手法

• 系を非 degenerate なエネルギー固有値と体積に依存するエントロピー関数σ(E/V)を持つ巨視的量子系としてモデル化する。
• 初期純粋状態φ⁰をE₀に近いエネルギー殻から選び、実験的準備制限を反映するエネルギー固有状態係数の上限（式(2)）を満たす。
• 固定されたハミルトニアンHに従って時間発展するための、[0,T]から一様に抽出されたランダムな待ち時間τを導入する。その後、循環的ユニタリ操作Ûが適用される。
• 最終状態φ_fin,τ = Û e^{-iHτ} φ⁰ を分析し、E₀未満のエネルギー部分空間への射影を用いて、エネルギーが低下する確率を計算する。
• エネルギー分布の長時間平均を用いて、エネルギー低下の確率がd_neq / Ω_V(E₀)で有界であることを示す。ここでd_neqは平衡部分空間の余次元である。
• 初期状態が任意のエネルギー固有状態に鋭くピークしない（式(2)）という仮定に依存しており、これは系の量子構造についての正確な知識の欠如を反映している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統計的集合を用いず、純粋な量子状態とユニタリ時間発展のみから、熱力学第二法則を導くことができるか？
• RQ2 待ち時間τは、特別に調整されたユニタリ操作が人工的にエネルギーを低下させることを防ぐ役割を果たすか？
• RQ3 エネルギー低下の確率は、初期状態の構造と系のサイズにどのように依存するか？
• RQ4 初期状態が熱平衡から大きく離れていても、第二法則は成り立つか？
• RQ5 第二法則が出現するための初期状態に対する最小限の仮定は何か？

主な発見

• 典型的な待ち時間τに対して、最終エネルギーがE₀未満である確率はd_neq / Ω_V(E₀)で有界であり、d_neq ≪ Ω_V(E₀)のとき無視できるほど小さい。
• 第二法則は、エネルギー分布の制約（式(2)）を満たす限り、初期状態が平衡から大きく離れていても成り立つ。
• エネルギー固有状態ψ_jの構造に関するいかなる仮定も必要とせず、状態密度の体積スケーリングΩ_V(E) = exp[Vσ(E/V) + o(V)] のみに依存する。
• ランダムな待ち時間τの導入により、ユニタリ操作が初期状態の特別な特徴を悪用するのを効果的に防ぎ、エネルギー低下は極めて確率が低い。
• この結果は、熱力学的不可逆性が平衡仮定ではなく、ユニタリ量子ダイナミクスと初期状態に関する正確な知識の欠如から生じることを示している。
• 不等式(10)は、初期状態の熱平衡化を仮定せずとも、長い典型的なτに対して、最終状態φ_fin,τが通常、平衡部分空間に非常に近い状態になることを示している。