[論文レビュー] The second variational formula of the k-energy and k-harmonic curves

Shun Maeta|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$k$-調和写像のための$k$-エネルギー汎関数の第二変分公式を導出し、インデックス、ノルム、弱安定性の概念を導入する。定曲率多様体への非自明な$k$-調和曲線の存在を示し、球面上の$3$-調和曲線に対して明示的な常微分方程式を提示。また、特定の曲率条件下で一定測地的曲率曲線が$k$-調和であることを証明する。

ABSTRACT

J.Eells and L. Lemaire introduced $k$-harmonic maps, and Wang Shaobo showed the first variation formula. In this paper, we give the second variation formula of $k$-energy, and give a notion of index, nullity and weakly stable. We also study $k$-harmonic maps into the product Riemannian manifold, and $k$-harmonic curves into a Riemannian manifold with constant sectional curvature, and show their non-trivial solutions.

研究の動機と目的

• $k$-調和写像のための$k$-エネルギー汎関数の第二変分公式を導出すること。
• インデックス、ノルム、弱安定性を$k$-調和写像に対して定義し、それらを分析すること。
• 積リーマン多様体への$k$-調和写像を研究し、還元定理を用いて問題を簡略化すること。
• 定曲率リーマン多様体への$k$-調和曲線を調査し、非自明な解を特定すること。
• 球面$S^n$への$3$-調和曲線の明示的な常微分方程式を導出すること。

提案手法

• リーマン接続$\overline{\nabla}$と引き戻しバンドル$\phi^{-1}TN$上の曲率項$R^N$を用いて、$k$-エネルギーの第二変分公式を粗ラプラシアン$\overline{\bigtriangleup}$を用いて導出する。
• 変分ベクトル場$V$を適用し、$\overline{\nabla}_{\partial_t}\overline{\bigtriangleup}^{s-1}\tau(F)$を用いて第二変分を計算。曲率項および接続項を組み込む。
• 還元定理を用いて、積多様体への$k$-調和写像が各因子上の$k$-調和成分に分解されることを示す。
• $k$-張力場方程式に代入するため、一定測地的曲率$\kappa$を仮定して$k$-調和曲線を分析する。
• 反復共変微分$\nabla_{\gamma'}^k \gamma^{(k)}$と計量内積$g_{ij}$を用いて、$S^n$上での$3$-調和曲線の6階常微分方程式を導出する。
• 球面上の恒等式$\nabla_{\gamma'}\gamma' = \gamma'' + \gamma$を適用し、高階微分を$\gamma^{(k)}$および内積$g_{ij}$で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k$-調和写像のための$k$-エネルギー汎関数の第二変分公式は何か。安定性とどのように関係するか。
• RQ2 定曲率リーマン多様体において、非自明な$k$-調和曲線が存在する条件は何か。
• RQ3 積多様体への$k$-調和写像は、各因子上の$k$-調和写像に還元可能か。
• RQ4 球面$S^n$への$3$-調和曲線を記述する常微分方程式は何か。
• RQ5 測地的曲率$\kappa$がどの値のとき、空間形式における一定曲率曲線が$k$-調和となるか。

主な発見

• $k$-エネルギーの第二変分公式が導出され、$k$-調和写像のインデックス、ノルム、弱安定性の定義が可能になった。
• 定曲率$K \geq 0$の多様体において、$2s$-調和曲線の場合は$\kappa = \sqrt{(2s-1)K}$のとき非自明な$k$-調和曲線が存在する。
• $(2s+1)$-調和曲線で一定測地的曲率の場合は、$\kappa = \sqrt{2sK}$の条件が、定曲率多様体における$k$-調和性を保証する。
• 球面$S^n$への$3$-調和曲線の常微分方程式は、$-\gamma^{(6)} - 2\gamma^{(4)} - (2g_{13} + 3)\gamma'' + 4g_{23}\gamma' + (1 + 9g_{24} + 8g_{33})\gamma = 0$として明示的に導出された。ここで$g_{ij} = g_0(\gamma^{(i)}, \gamma^{(j)})$である。
• 導出結果から、$k$-調和写像が一般に$t$-調和でないことが確認され、$k$-調和階層の非自明性が裏付けられた。