[論文レビュー] The Siegel variance formula for quadratic forms

Naser T. Sardari|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、オシレーター表現とシーゲルモジュラー形式を用いて、二次形式の滑らかな分散和を導入し、フーリエ係数の分散に対する正確な公式を導出する。n=1の場合に分散の鋭い上界を確立し、整数のユニモジュラー格子による表現におけるカットオフ現象を証明するとともに、正定値d次元の二次形式上でのp整数点に対する最適なディオファントス指数の上限を得る。

ABSTRACT

We introduce a smooth variance sum associated to a pair of positive definite symmetric integral matrices $A_{m imes m}$ and $B_{n imes n}$, where $m\geq n$. By using the oscillator representation, we give a formula for this variance sum in terms of a smooth sum over the square of a functional evaluated on the $B$-th Fourier coefficients of the vector valued holomorphic Siegel modular forms which are Hecke eigenforms and obtained by the theta transfer from $O_{A_{m imes m}}$. By using the Ramanujan bound on the Fourier coefficients of the holomorphic cusp forms, we give a sharp upper bound on this variance when $n=1$. As applications, we prove a cutoff phenomenon for the probability that a unimodular lattice of dimension $m$ represents a given even number. This gives an optimal upper bound on the sphere packing density of almost all even unimodular lattices. Furthermore, we generalize the result of Bourgain, Rudnick and Sarnak~\cite{Bourgain}, and also give an optimal bound on the diophantine exponent of the $p$-integral points on any positive definite $d$-dimensional quadric, where $d\geq 3$. This improves the best known bounds due to Ghosh, Gorodnik and Nevo~\cite{GGN} into an optimal bound.

研究の動機と目的

• 正定値対称整数行列AとBのペアに対して、m ≥ nであるときの滑らかな分散和を構築すること。
• O_Aからのシータリフトを介してヘッケ固有形式であるベクトル値正則シーゲルモジュラー形式のフーリエ係数を用いて、この分散を表す公式を導出すること。
• n=1の場合に、尖型形式のフーリエ係数におけるラマヌジャンの境界を用いて、分散の鋭い上界を確立すること。
• 分散公式を用いて、ユニモジュラー格子が与えられた偶数整数を表現する確率におけるカットオフ現象を証明すること。
• ボアイン・ルドニク・サルナックの結果を一般化し、正定値d次元の二次形式（d ≥ 3）上でのp整数点に対する、既存で最も良いディオファントス指数の上限を改善すること。

提案手法

• 正定値対称整数行列A（m×m）とB（n×n）のペアに対して、滑らかな分散和を導入する。ただしm ≥ nとする。
• オシレーター表現を用いて、分散和をベクトル値正則シーゲルモジュラー形式のB次のフーリエ係数に評価された関数の二乗に関連付ける。
• シータリフト構成を用いて、直交群O_Aからヘッケ固有形式を得る。
• 正則尖型形式のフーリエ係数におけるラマヌジャンの境界を活用し、n=1の場合の分散に対する鋭い上界を導出する。
• 分散公式を用いて、シーゲル質量測度の下でユニモジュラー格子による整数の表現確率を分析する。
• 分散公式を応用し、正定値二次形式（d ≥ 3変数）上でのp整数点に対するディオファントス指数の最適な境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーゲルモジュラー形式を用いた二次形式の滑らかな分散和の正確な公式は何か？
• RQ2 n=1の場合に、フーリエ係数におけるラマヌジャンの境界をどのように用いて分散の鋭い上界を導出できるか？
• RQ3 次元mの奇数（または偶数）ユニモジュラー格子が与えられた奇数（または偶数）整数を表現する確率にカットオフ現象が現れるか？
• RQ4 正定値d次元の二次形式（d ≥ 3）上でのp整数点に対するディオファントス指数を最適な境界まで改善できるか？
• RQ5 分散公式は、ほとんどすべての偶数ユニモジュラー格子の球充填密度にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、O_Aからのシータリフトによって得られるヘッケ固有形式のB次のフーリエ係数を用いて、シーゲル分散和の完全な公式を確立した。
• n=1の場合、次元mのユニモジュラー格子が与えられた偶数整数2qを表現する確率の鋭い上界として、5113^(-t)のオーダーが得られ、カットオフ点はq ~ m/(2πe)に位置する。
• カットオフ現象が確認された：q ≤ m/(2πe) + (0.5/πe)log(m) - t - 1のとき、表現確率は≤ 5113^(-t)であり、q ≥ m/(2πe) + (1.6/πe)log(m) + tのとき、表現確率は≥ 1 - 5113^(-t)である。ここでt = o(m)である。
• ほとんどすべての偶数ユニモジュラー格子の球充填密度が、μ₀確率1 + O(m^{-δ+ε})（任意のδ > 0およびε > 0）の下でo(m^{2+ε}2^{-m})であることが示された。
• 任意の正定値d次元の二次形式（d ≥ 3）上でのp整数点に対するディオファントス指数は、最適な境界で抑えられ、Ghosh-Gorodnik-Nevoの既存の最良境界を改善した。
• 予想1.2では、十分大きなmに対して、すべての偶数整数2q ≥ (1+ε)m/(2πe)が、すべての偶数ユニモジュラー格子によって表現可能であると示唆しており、その場合の球充填密度は(1+ε)^m 2^{-m}であると予想される。