[論文レビュー] The signature package on Witt spaces, I. Index classes

Pierre Albin, Éric Leichtnam+2 more|ArXiv.org|Jun 8, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Witt空間（Witt条件を満たす層状の擬多様体）上の署名パッケージの解析的基盤を確立する。特に対象となるのは、$C^*_r\widetilde{\rho}$-ミシュチェンコ bundle に値をとる署名作用素に対するパラメトリクスの構成である。本論文では、自己随伴性の本質的性質、離散的かつ有限多重度の固有値スペクトル、および $K_*(C^*_r\widetilde{\rho})$ 内で定義された解析的署名類の存在を示し、計量の選択に依存しないことを証明するとともに、アセンブルマップおよびカスパロフ積構造と整合していることを確認している。

ABSTRACT

We give a parametrix construction for the signature operator on any compact, oriented, stratified pseudomanifold X which satisfies the Witt condition. This construction is inductive. It is then used to show that the signature operator is essentially self-adjoint and has discrete spectrum of finite multiplicity, so that its index -- the analytic signature of X -- is well-defined. We then show how to couple this construction to a C^*_r(Gamma) Mischenko bundle associated to any Galois covering of X with covering group Gamma. The appropriate analogues of these same results are then proved, and it follows that we may define an analytic signature class as an element of the K-theory of C^*_r(Gamma). In a sequel to this paper we establish in this setting the full range of conclusions for this class which sometimes goes by the name of the signature package.

研究の動機と目的

• コンパクトで、向き付け可能で、Witt条件を満たす層状の擬多様体上での解析的署名類を確立すること。
• このような空間上で、署名作用素が本質的に自己随伴であり、離散的かつ有限多重度のスペクトルを持つことを証明すること。
• ガロア被覆のための $C^*_r\Gamma$-ミシュチェンコ bundle による署名作用素のねじれインデックス類を定義し、特徴づけること。
• 解析的署名類が、Witt空間の正則部における適切なリーマン計量の選択に依存しないことの証明。
• 完全な署名パッケージの基盤を築くために、アセンブルマップおよびカスパロフ積構造との整合性を含む理論の解析的側面を証明すること。

提案手法

• 層状構造に基づく帰納的技法を用いて、Witt空間上での署名作用素に対するパラメトリクスを構成する。
• パラメトリクスを用いて、署名作用素の最大定義域が $L^2_{\mathrm{iie}}$ にコンパクトに埋め込まれることを証明する。
• 署名作用素の最小定義域と最大定義域が一致することを確立し、本質的自己随伴性および離散的かつ有限多重度のスペクトルを示す。
• $\Gamma$ を群とするガロア被覆上のミシュチェンコ bundle に係数をとる $L^2$-形式の $C^*_r\Gamma$-ヒルベルトモジュールを定義する。
• ミシュチェンコ bundle に係数をとる署名作用素から、無限大のカスパロフ $(\mathbb{C}, C^*_r\Gamma)$-バイモジュールを構成する。
• インデックス類 $\mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}})$ が、カスパロフ積 $[\widetilde{C^*_r\Gamma}] \otimes [[\eth_{\mathrm{sign}}]]$ に等しく、計量に依存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Witt空間上の署名作用素が、離散的かつ有限多重度のスペクトルを持つ本質的自己随伴作用素であることを示せるか？
• RQ2 Witt空間のガロア被覆に対して、$K_*(C^*_r\Gamma)$ 内で解析的署名類をどのように定義できるか？
• RQ3 Witt空間の正則部における適切なリーマン計量の選択に依存しない、解析的署名類は存在するか？
• RQ4 インデックス類 $\mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}})$ は、ミシュチェンコ bundle の類とカスパロフ積の公式を満たすか？
• RQ5 インデックス類は、アセンブルマップ $\beta: K_*(B\Gamma) \to K_*(C^*_r\Gamma)$ と整合するか？

主な発見

• 任意のコンパクトで、向き付け可能で、Witt条件を満たす層状の擬多様体上での署名作用素は、本質的に自己随伴であり、有限多重度の離散スペクトルを持つ。
• 署名作用素の最大定義域は $L^2_{\mathrm{iie}}$ にコンパクトに埋め込まれており、最小定義域と最大定義域が一致することを保証する。
• 解析的署名類 $[\eth_{\mathrm{sign}}] \in K_*(\widehat{X})$ は、正則部における適切な計量の選択に依存せず、適切に定義されている。
• インデックス類 $\mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}}) \in K_*(C^*_r\Gamma)$ は、適切な計量の選択に依存せず、カスパロフ積 $[\widetilde{C^*_r\Gamma}] \otimes [[\eth_{\mathrm{sign}}]]$ に等しい。
• インデックス類は $\beta(r_*[\eth_{\mathrm{sign}}]) = \mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}})$ を満たし、アセンブルマップと整合することが確認された。
• 本構成により、無限大のカスパロフ $(\mathbb{C}, C^*_r\Gamma)$-バイモジュールが得られ、$KK_*(\mathbb{C}, C^*_r\Gamma)$ 内でインデックス類が実現される。