[論文レビュー] The Singular Locus of the Theta Divisor and Quadrics through a Canonical Curve

Marco Matone, Roberto Volpato|ArXiv.org|Oct 11, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、canonical curve 上の新しいセクション K を導入し、Jacobian 上のtheta divisor の特異点集合 Θs を特徴付ける中心的ツールとして用いる。正則アーベル微分の行列式的関係と組合せ的恒等式を活用することで、正則微分のcanonical basis と Mumford form をtheta関数の形で明示的に表現し、K が genus 4 のHessian を任意の genus に一般化することを示し、Jacobian 異常集合および特別なスピン構造に沿って消えるモジュラーなセクションを提供する。

ABSTRACT

A section K on a genus g canonical curve C is identified as the key tool to prove new results on the geometry of the singular locus Theta_s of the theta divisor. The K divisor is characterized by the condition of linear dependence of a set of quadrics containing C and naturally associated to a degree g effective divisor on C. K counts the number of intersections of special varieties on the Jacobian torus defined in terms of Theta_s. It also identifies sections of line bundles on the moduli space of algebraic curves, closely related to the Mumford isomorphism, whose zero loci characterize special varieties in the framework of the Andreotti-Mayer approach to the Schottky problem, a result which also reproduces the only previously known case g=4. This new approach, based on the combinatorics of determinantal relations for two-fold products of holomorphic abelian differentials, sheds light on basic structures, and leads to the explicit expressions, in terms of theta functions, of the canonical basis of the abelian holomorphic differentials and of the constant defining the Mumford form. Furthermore, the metric on the moduli space of canonical curves, induced by the Siegel metric, which is shown to be equivalent to the Kodaira-Spencer map of the square of the Bergman reproducing kernel, is explicitly expressed in terms of the Riemann period matrix only, a result previously known for the trivial cases g=2 and g=3. Finally, the induced Siegel volume form is expressed in terms of the Mumford form.

研究の動機と目的

• canonical curve のJacobian 上のtheta divisor の特異点集合 Θs を幾何学的に特徴付ける新しいアプローチを開発すること。
• 曲線上に存在する canonical セクション K を同定し、それが Θs の幾何を記述し、モジュライ空間内の特別な部分集合と関連することを明らかにすること。
• 既知の genus 4 の結果（theta関数のHessian がJacobian 異常集合に沿って消えること）を任意の genus g ≥ 4 に一般化すること。
• Riemann の周期行列を用いて、moduli space Mg 上のMumford form とSiegel計量を明示的に表現すること。
• 組合せ的theta恒等式を用いて、Jacobian 異常集合および特別なスピン構造に沿って正確に消える holomorphic セクションを構成すること。

提案手法

• 正則アーベル微分の二重積の行列式的関係を用いて、canonical curve を通る二次形式の線形従属性に関連するセクション K を定義する。
• 対称積と行列式に関する組合せ的補題を用い、高階theta導関数を正則微分に結びつける。
• Fayの恒等式とRiemannのtheta関係式を適用し、H⁰(KC) のcanonical basis とMumford form をtheta関数の形で表現する。
• Bergman核のKodaira-Spencer写像からMg 上のSiegel計量を導出し、それがRiemann周期行列によって誘導される計量と等価であることを示す。
• 偶数 genus g ≥ 4 に対して、素形式の積と微分の行列式を用いて、λ₁^{d_g} 上のmodular セクション k(g) を構成する。
• 反対称性と行列式への比例性により、k(g) が点や基底の選択に依存しないことを確立し、モジュライデータに依存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の genus g ≥ 4 に対して、theta divisor の特異点集合 Θs をどのように幾何学的に特徴付けることができるか？
• RQ2 セクション K は Θs の幾何をどのように記述し、モジュライ空間内の特別な部分集合と関連づけるか？
• RQ3 genus 4 のtheta関数のHessian は、任意の高次元に一般化可能であり、Jacobian 異常集合に沿って消えるモジュラーなセクションとしての役割を果たすか？
• RQ4 Mumford form とMg 上のSiegel計量をRiemann周期行列を用いて明示的に表現するにはどうすればよいか？
• RQ5 Jacobian 異常集合および特別なスピン構造に沿って消える holomorphic セクションの構造はどのようなものか？

主な発見

• セクション K は、moduli space Mg 上の線分束の正則セクションであり、正確にJacobian 異常集合および偶数特異スピン構造を持つ曲線に沿って消える。
• genus g = 4 の場合、K はtheta関数のHessian に縮退し、以前に知られていた唯一のモジュラーなセクションによるJacobian 異常集合の明示的特徴付けを再現する。
• セクション k(4) = A₄ det_{i,j∈I₄} θ_{ij}(e) は、M₄ 上の λ₁³⁴ の正則セクションであり、双曲的異常集合では8次に、偶数スピン異常集合では1次に消える。
• 偶数 genus g ≥ 4 に対して、セクション k(g) は点や基底の選択に依存せず、d_g = (12−g)N_{g−3} + (g−2)[6(g−3)(g−4)+1] を用いて定義される Mg 上の λ₁^{d_g} の正則セクションを定義する。
• Mumford form はセクション K を通じてtheta関数で明示的に表現され、Mg 上のSiegel計量がBergman核の平方のKodaira-Spencer計量と等価であることが示された。
• Fayの恒等式と行列式的組合せ論を用いて、H⁰(KC) のcanonical basis とMumford form の定数 κ[ω] が、theta関数の形で明示的に導出された。