[論文レビュー] The Smale conjecture for Seifert fibered spaces with hyperbolic base orbifold

Darryl McCullough, Teruhiko Soma|arXiv (Cornell University)|May 27, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、双曲的基底オビフォールドをもつセイフェルト被覆3次元多様体に対してスメール予想を証明し、微分同相群の単位成分が、基本群の中心が自明か無限巡回群であるかに応じて、可縮または円周 $ S^1 $ とホモトピー同値であることを示している。結果として、$ \Theta^2\times\mathbb{R} $ または $ \widetilde{\mathrm{SL}_2}(\mathbb{R}) $ の幾何を持つ非ハーケン多様体に対して、等長群と全微分同相群の間のホモトピー同値性が確立される。

ABSTRACT

Let M be a closed orientable Seifert fibered 3-manifold with a hyperbolic base 2-orbifold, or equivalently, admitting a geometry modeled on H^2 imes R or the universal cover of SL(2,R). Our main result is that the connected component of the identity map in the diffeomorphism group Diff(M) is either contractible or homotopy equivalent to the circle, according as the center of the fundamental group of M is trivial or infinite cyclic. Apart from the remaining case of non-Haken infranilmanifolds, this completes the homeomorphism classifications of Diff(M) and of the space of Seifert fiberings of M for all compact orientable aspherical 3-manifolds. We also prove that when the base orbifold of M is hyperbolic with underlying manifold the 2-sphere with three cone points, the inclusion from the isometry group Isom(M) to Diff(M) is a homotopy equivalence.

研究の動機と目的

• コンパクトな向きつけ可能かつ非可縮3次元多様体の微分同相群 $\mathrm{Diff}(M)$ のホモトピー型の分類を完成させること。
• スメール予想の枠組みにおいて、残された非ハーケンセイフェルト被覆多様体（双曲的基底オビフォールドをもつ）のケースを解消すること。
• $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ または $\widetilde{\mathrm{SL}_2}(\mathbb{R})$ の幾何を持つ非ハーケン多様体に対して、等長群の微分同相群への包含写像がホモトピー同値であることを確立すること。
• このような多様体に対して、セイフェルト被覆の空間 $\mathrm{SF}(M)$ が可縮であることを証明し、同位型による被覆の分類を完全にすること。
• 最後の未解決ケースを解消することで、すべてのコンパクトな向きつけ可能な非可縮3次元多様体における $\mathrm{Diff}(M)$ のホモトピー分類を統一すること。

提案手法

• ガバイの研究から得られたインシュレータ法を用いて、微分同相の同位型類の分析を行う。
• ハッチャーとイワノフのハーケン3次元多様体の微分同相群に関する結果を用い、基本ケースを確立する。
• 写像 $\operatorname{Diff}_f(M) \to \operatorname{Diff}^{\mathrm{orb}}(O)$ を通じたファイブレーション系列を適用する。ここで $O$ は基底オビフォールドを表す。
• ファイバー $\operatorname{Diff}_v(M) \cap \operatorname{diff}_f(M)$ を $\operatorname{diff}_v(M)$、すなわち垂直微分同相群として扱い、補題8.2を用いる。
• $\operatorname{diff}^{\mathrm{orb}}(O)$ が $\operatorname{diff}(S^2 \setminus \{\text{three points}\})$ と同値であるため、可縮性を用いてホモトピー同値を導出する。
• 成分ごとの分析とオビフォールド同位型の持ち上げを用いて、包含写像 $\operatorname{Isom}(M) \to \operatorname{Diff}_f(M)$ がホモトピー同値であることを示し、$\operatorname{Isom}(M)$ と $\operatorname{Diff}(M)$ の間のホモトピー同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的基底オビフォールドをもつセイフェルト被覆3次元多様体に対して、微分同相群の単位成分のホモトピー型は何か？
• RQ2 非ハーケン多様体で $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ または $\widetilde{\mathrm{SL}_2}(\mathbb{R})$ の幾何をもつ場合、等長群の微分同相群への包含写像はホモトピー同値を誘導するか？
• RQ3 このような多様体に対して、セイフェルト被覆の空間 $\operatorname{SF}(M)$ は可縮か？
• RQ4 このクラスの3次元多様体において、$\pi_1(M)$ の中心は $\operatorname{diff}(M)$ のホモトピー型をどのように決定するか？
• RQ5 スメール予想は、双曲的基底オビフォールドをもつ非ハーケンセイフェルト被覆多様体に拡張可能か？

主な発見

• 微分同相群の単位成分 $\operatorname{diff}(M)$ は、$\pi_1(M)$ の中心が自明であれば可縮であり、無限巡回群であれば $S^1$ とホモトピー同値である。
• $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ または $\widetilde{\mathrm{SL}_2}(\mathbb{R})$ の幾何をもつ非ハーケンセイフェルト被覆3次元多様体で、基底オビフォールドが3つの円錐特異点をもつ2次元球面である場合、包含写像 $\operatorname{Isom}(M) \to \operatorname{Diff}(M)$ はホモトピー同値である。
• 閉じた向きつけ可能なセイフェルト被覆3次元多様体で、双曲的基底オビフォールドをもつ場合、$\operatorname{SF}(M)$、すなわち $M$ のセイフェルト被覆の空間は可縮である。
• 包含写像 $\operatorname{Diff}_f(M) \to \operatorname{Diff}(M)$ はホモトピー同値であるため、ファイバーを保存する微分同相群が $\operatorname{Diff}(M)$ の全ホモトピー型を捉えている。
• コンパクトな向きつけ可能な非可縮3次元多様体における $\operatorname{Diff}(M)$ のホメオモーフィズム分類は、非ハーケンインフラニル多様体を除き、この結果で完全に完成する。
• 多様体 $M$ が最大対称幾何を持ち、非ハーケンインフラニル多様体でない場合、$\operatorname{Isom}(M) \to \operatorname{Diff}(M)$ のホモトピー同値性が成り立つ。