[論文レビュー] The smooth Riemannian extension problem: completeness

Stefano Pigola, Giona Veronelli|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、滑らかで測度的に完備なリーマン多様体（滑らかな境界をもつ）が、境界のない滑らかで測地的完備なリーマン多様体の閉領域として等長埋め込み可能であることを確立している。その手法は一般化された接合と等角変形の構成に基づく。主な貢献は、測度的完備性を保つ完全なリーマン拡張の存在であり、Sobolev空間や適切なNash埋め込みへの応用を含む。

ABSTRACT

By means of a general gluing and conformal-deformation construction, we prove that any smooth, metrically complete Riemannian manifold with smooth boundary can be realized as a closed domain into a smooth, geodesically complete Riemannan manifold without boundary. Applications to Sobolev spaces, Nash embedding and local extensions with strict curvature bounds are presented.

研究の動機と目的

• 境界をもつ滑らかで測度的に完備なリーマン多様体を、境界のない測地的完備な多様体に拡張するという根本的問題に取り組む。
• このような拡張が、断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率の境界といった曲率制約を保つことができるかを調査する。
• 特に曲率の境界と基本群の制限に関連して、拡張過程における位相的障害を探索する。
• 完全な拡張の存在を用いて、境界をもつ多様体上のSobolev空間の密度に関する結果を確立する。
• 拡張技術を用いて、完全なリーマン多様体を適切な等長埋め込みとしてユークリッド空間 $\mathbb{R}^\ell$ に埋め込むことの可能性を示す。

提案手法

• 一般化された接合と等角変形手順を用いて、滑らかで測地的完備なリーマン拡張を構成する。
• 拡張された多様体上の局所有限で相対的にコンパクトな滑らかなアトラスに従属する分区を用いる。
• 局所座標における標準的なモリフィケーションおよび近似技術を用いて、$W^{1,p}$-空間内の関数を近似する。
• 元の多様体上に滑らかでグローバルリプシッツなエクステンション関数 $\rho_M$ を用い、コンパクト部分集合上の近似を制御する。
• 滑らかで-compactly なサポートを持つ関数 $\psi$ を用いたカットオフ関数 $\psi_k = \psi(\rho_N/k)$ を用いて、$C_c^\infty(N)$ 内の関数を近似する。
• Sobolev関数の拡張問題を、完全なリーマン多様体への拡張を経由した適切な等長埋め込みの存在に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで測度的に完備なリーマン多様体（滑らかな境界をもつ）は、すべて、境界のない測地的完備なリーマン多様体の閉領域として等長埋め込み可能か？
• RQ2 リーマン拡張が、$\mathrm{Ric} \geq C$ や $\mathrm{Sect} \leq C$ のような曲率境界を保つための条件は何か？
• RQ3 完全なアインシュタイン拡張 $\mathrm{Ric} = \lambda$ が存在しない原因となる、元の多様体における位相的制約は何か？
• RQ4 境界をもつ完全な多様体上のSobolev関数は、$W^{1,p}$-ノルムにおいて、滑らかで-compactly な台を持つ関数で近似可能か？
• RQ5 境界をもつ完全なリーマン多様体を、あるユークリッド空間 $\mathbb{R}^\ell$ に適切な等長埋め込みとして実現することは可能か？

主な発見

• 滑らかで測度的に完備なリーマン多様体（滑らかな境界をもつ）は、境界のない測地的完備なリーマン多様体への拡張をもつ。
• 空間 $W^{1,p}(\mathrm{int}M)$ は、$W^{1,p}$-ノルムにおける $C_c^\infty(M)$ の閉包であるため、コンパクト台を持つ滑らかな関数が、境界をもつ完全な多様体上のSobolev空間において稠密であることを示す。
• 任意の完全なリーマン多様体（境界をもつ）上に、滑らかでグローバルリプシッツなエクステンション関数 $\rho_M$ が存在し、$\|\nabla \rho_M\|_{L^\infty} \leq L$ を満たす。
• 古典的なNash埋め込み定理は、まず完全な多様体に拡張してから、$\mathbb{R}^\ell$ に適切に埋め込むことによって、境界をもつ多様体へと拡張可能である。
• この構成により、拡張された計量が滑らかで測地的完備であることが保証され、元の多様体の等長埋め込みが保存される。
• この方法は、曲率と位相的制約を制御可能な一般化されたフレームワークを提供し、幾何解析や相対性理論の問題に応用可能である。