[論文レビュー] On the structure of RCD spaces with upper curvature bounds

Vitali Kapovitch, Martin Kell+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、アレクサンドロフ的意味での上側曲率上限を満たすRCD空間について、包括的な構造理論を確立し、それらが境界をもつ位相的多様体であり、内部が正確に正則点からなることを証明している。正則集合は、元の距離を誘導する連続的で有界 Variation をもつリーマン計量を備えた $C^1$-滑らかさを持つ多様体であり、境界はGromov-Hausdorff接空間を用いて定義される幾何的境界と一致する。

ABSTRACT

We develop a structure theory for RCD spaces with curvature bounded above in Alexandrov sense. In particular, we show that any such space is a topological manifold with boundary whose interior is equal to the set of regular points. Further the set of regular points is a smooth manifold and is geodesically convex. Around regular points there are DC coordinates and the distance is induced by a continuous BV Riemannian metric.

研究の動機と目的

• アレクサンドロフ的意味での上側曲率上限を満たす $ CD$ 空間の構造理論を構築すること。
• 正則集合およびその幾何的・位相的性質を特徴付けること。
• このような空間において、多様体的境界と幾何的境界が等価であることを確立すること。
• 正則集合上の距離関数が連続的で有界 Variation をもつリーマン計量によって誘導されることを証明すること。
• これらの空間に対して弱く非崩壊的予想を検証し、密度関数が $m$-ほとんど everywhere で定数であることを示すこと。

提案手法

• Gromov-Hausdorff接空間を用いて空間の幾何的次元および境界を定義すること。
• DC微積分およびBV関数の応用により、正則集合上の正則性および計量的構造を分析すること。
• 正則点の周囲にDC座標を構成し、局所的な $C^1$-構造を確立すること。
• 最適輸送および無限小ヒルベルト性を用いて、RCD条件が曲率上限を含意することを保証すること。
• 次元に関する帰納法を用いて、最大半径をもつ空間または反対点を含む空間の剛性結果を証明すること。
• 非崩壊的 $ CD$ 空間および $ CAT(1)$ 空間の結果を活用し、グローバルな位相的および計量的性質を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上側曲率上限を満たす $ CD(K,N)$ 空間が同時に $ CAT(\kappa)$ であるとき、その位相的および幾何的構造はどのようなものか？
• RQ2 このような空間において、正則点の集合は多様体の内部および境界とどのように関係するか？
• RQ3 正則集合上の距離関数は、連続的で有界 Variation をもつリーマン計量によって表現可能か？
• RQ4 正則集合上の密度関数が定数である条件は何か、そしてそれは弱く非崩壊的予想とどのように関係するか？
• RQ5 空間が最大半径をもつ、または反対点を含むとき、どのような剛性性質が生じるか？

主な発見

• 空間 $X$ は、$n = \dim_{\text{geom}} X$ が幾何的次元である位相的 $n$-多様体であり、境界をもつ。
• 空間 $X$ の内部は正則点の集合 $\mathcal{R}_n$ に等しく、$k \neq n$ に対してすべての他の正則集合 $\mathcal{R}_k$ は空であるため、$\mathcal{R} = \mathcal{R}_n$ である。
• 正則集合 $\mathcal{R}$ は測地的凸であり、$\mathcal{R}$ 内の測地線は局所的に延長可能である。
• 正則集合には、元の距離を誘導する連続的で有界 Variation をもつリーマン計量を備えた $C^1$-多様体構造が存在する。
• 多様体的境界 $\partial X$ は、接空間を用いて定義される幾何的境界 $\boldsymbol{\partial}X$ と一致する。
• 弱く非崩壊的状況では、密度関数 $f(x) = \lim_{r \to 0} \frac{m(B_r(x))}{\omega_n r^n}$ は $X$ 上で $m$-ほとんど everywhere で定数である。