[論文レビュー] The space of asymptotically conical self-expanders of mean curvature flow

Jacob Bernstein, Lu Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、平均曲率流れにおける漸近的に錐型の自己拡張子の空間が、漸近的錐のリンク上のホルダー連続関数をモデルとする滑らかなバナッハ多様体であることを確立する。主な貢献は、埋め込みの制御された無限遠挙動を持つパrametrization空間上で、フレドホルム理論と陰関数定理を用いて、一般に非退化である自己拡張子—すなわち、漸近的錐を保存する非自明な法線ヤコビ場をもたない自己拡張子—であることを証明することにある。

ABSTRACT

We show that the space of asymptotically conical self-expanders of the mean curvature flow is a smooth Banach manifold. An immediate consequence is that non-degenerate self-expanders -- that is, those self-expanders that admit no non-trivial normal Jacobi fields that fix the asymptotic cone -- are generic in a certain sense.

研究の動機と目的

• 平均曲率流れにおける漸近的に錐型の自己拡張子の空間のグローバルな幾何的構造を理解すること。
• 適切な正則性および漸近的条件のもとで、この空間が滑らかなバナッハ多様体であることを示すこと。
• 非退化な自己拡張子—すなわち、漸近的錐を固定する非自明なヤコビ場をもたない自己拡張子—が位相的に一般であることを確立すること。
• 無限遠での挙動が制御された漸近的に錐型の埋め込みを用いた自己拡張子のパラメータ化フレームワークを提供すること。
• 自己拡張子方程式の線形化のフレドホルム性を、無限遠でのトレース写像を用いて分析すること。

提案手法

• 固定された超曲面 $\Gamma$ に対する $C^{k,\alpha}_*$-漸近的に錐型の埋め込みの空間 $\mathcal{ACH}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ を定義し、無限遠での吹き出し条件を課える。
• 同じ漸近的錐パラメータ化を誘導する埋め込みを同値関係で同一視することで、自己拡張子の商空間 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ を得る。
• 無限遠での漸近的トレースを割り当てる写像 $\Pi$ を $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ から $C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$ に構成する。
• 陰関数定理とバナッハ空間論を適用して、$\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ が $C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$ をモデルとする滑らかなバナッハ多様体であることを示す。
• トレース写像の線形化 $D\Pi$ を分析し、その核が漸近的錐を保存する法線ヤコビ場に対応することを示す。
• スメールの横断的定理を用いて、退化した自己拡張子の集合がどこにも稠密でないことを導き、一般の非退化性を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な正則性および漸近的条件のもとで、漸近的に錐型の自己拡張子の空間は滑らかな無限次元多様体であるか？
• RQ2 各自己拡張子に漸近的リンクパラメータ化を割り当てるトレース写像 $\Pi$ のフレドホルム指数は何か？
• RQ3 自己拡張子はどの程度非退化であるか—すなわち、漸近的錐を保存する非自明な法線ヤコビ場をもつか？
• RQ4 漸近的錐のパラメータ化は、自己拡張子の空間の構造にどのように影響するか？
• RQ5 一般の自己拡張子は、無限遠における線形化作用素の核が自明であるものとして特徴付けられるか？

主な発見

• $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ である漸近的に錐型の自己拡張子の空間は、$C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$ をモデルとする滑らかなバナッハ多様体であり、座標域の可算被覆を持つ。
• 写像 $\Pi: \mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma) \to C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$ は滑らかなフレドホルム写像であり、指数はゼロである。
• $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ の各局所座標チャートは、$D\Pi$ の核と補空間への分解に基づくグラフ写像 $(z, \kappa) \mapsto (z, \psi_i(z, \kappa))$ で表される。
• 任意の点 $[\mathbf{f}]$ における $D\Pi$ の核は、$\Sigma = \mathbf{f}(\Gamma)$ 上の法線ヤコビ場の空間に同型であり、漸近的錐を保存する。
• 漸近的錐を保存する非自明なヤコビ場をもつ自己拡張子の集合は、$\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 内でどこにも稠密でないため、非退化な自己拡張子は一般である。
• 一般の $C^{k,\alpha}$-正則な錐 $\mathcal{C}$ に対して、$\mathcal{C}$ に漸近するすべての自己拡張子は非退化であり、すなわち、錐を固定する非自明な法線ヤコビ場をもたない。