[論文レビュー] The spectra of generalized Paley graphs and their associated irreducible cyclic codes.

Ricardo A. Podestá, Denis E. Videla|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化されたペイリー・グラフ Γ(k,q) の固有値と、それに対応する不可約 p 進巡回符号 𝒞(k,q) の重み分布との間の直接的な対応関係を確立し、k ∣ (q−1)/(p−1) の条件下で、グラフの固有値と符号の重み分布が互いに完全に決定し合うことを示している。特に、ガウス和を用いて半原始的ケースにおける固有値を明示的に計算し、その結果を用いてアーティン＝シュライエル曲線の有理点の数を削減し、ガウス和の計算にも応用している。

ABSTRACT

For $q=p^m$ with $p$ prime and $k\mid q-1$, we consider the generalized Paley graph $\Gamma(k,q) = Cay(\mathbb{F}_q, R_k)$, with $R_k=\{ x^k : x \in \mathbb{F}_q^* \}$, and the irreducible $p$-ary cyclic code $\mathcal{C}(k,q) = \{( extrm{Tr}_{q/p}(\gamma \omega^{ik})_{i=0}^{n-1})\}_{\gamma \in \mathbb{F}_q}$, with $\omega$ a primitive element of $\mathbb{F}_q$ and $n= frac{q-1}{k}$. We compute the spectra of $\Gamma(k,q)$ in terms of Gaussian periods and give $Spec(\Gamma(k,q))$ explicitly in the semiprimitive case. We then show that the spectra of $\Gamma(k,q)$ and $\mathcal{C}(k,q)$ are mutually determined by each other if further $k\mid frac{q-1}{p-1}$. Also, we use known characterizations of generalized Paley graphs which are cartesian decomposable to explicitly compute the spectra of the corresponding associated irreducible cyclic codes. As applications, we give reduction formulas for the number of rational points in Artin-Schreier curves and to the computation of Gaussian periods.

研究の動機と目的

• 一般化されたペイリー・グラフのスペクトルと、それに対応する不可約巡回符号との間の相互決定関係を確立すること。
• 半原始的ケースにおいて、ガウス和を用いて Γ(k,q) の固有値スペクトルを明示的に計算すること。
• スペクトルの結果を応用して、有限体上のアーティン＝シュライエル曲線の有理点の数に関する削減公式を導出すること。
• 一般化されたペイリー・グラフのカルテシアン分解可能という既知の特徴づけを用いて、関連する符号のスペクトルを計算すること。

提案手法

• k ∣ q−1 を満たすとき、𝔽_q 上のカイリー・グラフとして一般化されたペイリー・グラフ Γ(k,q) を定義し、接続集合を R_k = {x^k : x ∈ 𝔽_q^*} とする。
• 不可約巡回符号 𝒞(k,q) を、γ ∈ 𝔽_q および 𝔽_q の原始元 ω を用いたトレース関数 Tr_{q/p}(γω^{ik}) で表現する。
• Γ(k,q) のスペクトルを、特に乗法的位数の条件を満たす半原始的ケースにおいて、ガウス和を用いて表現する。
• k ∣ (q−1)/(p−1) の条件下で、グラフの固有値と符号の重み分布との間に双対性を確立する。
• 一般化されたペイリー・グラフのカルテシアン分解可能性に関する既知の結果を活用し、関連する符号のスペクトルに対する明示的な公式を導出する。
• スペクトルの結果を応用して、アーティン＝シュライエル曲線の有理点の数を削減し、ガウス和を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたペイリー・グラフ Γ(k,q) のスペクトルは、その関連する不可約巡回符号 𝒞(k,q) の重み分布とどのように関係しているか？
• RQ2 半原始的ケースにおける Γ(k,q) の固有値スペクトルの明示的形は何か？
• RQ3 グラフのスペクトルと符号のスペクトルが互いに完全に決定し合うのはどのような条件下か？
• RQ4 一般化されたペイリー・グラフのスペクトル的性質を用いて、アーティン＝シュライエル曲線の有理点の数をどのように削減できるか？
• RQ5 一般化されたペイリー・グラフの構造的性質（例えばカルテシアン分解可能性）を用いて、関連する符号のスペクトルを明示的に計算できるか？

主な発見

• 一般化されたペイリー・グラフ Γ(k,q) のスペクトルは、ガウス和によって完全に決定され、半原始的ケースでは明示的な公式が与えられている。
• k が (q−1)/(p−1) を割り切るとき、Γ(k,q) のスペクトルと関連符号 𝒞(k,q) のスペクトルは互いに完全に決定し合う：片方の情報があれば他方が完全に特定できる。
• スペクトルの結果を用いることで、有限体上のアーティン＝シュライエル曲線の有理点の数に関する削減公式が得られる。
• カルテシアン分解可能な一般化されたペイリー・グラフに対しては、関連する不可約巡回符号のスペクトルが、グラフのスペクトル構造を用いて明示的に計算できる。
• 本フレームワークにより、一般化されたペイリー・グラフからのスペクトルデータを用いたガウス和の計算の新手法が提供される。
• 本結果は、グラフ理論、符号理論、有限体上の算術幾何学との間の深い代数的関係を確立している。