[論文レビュー] The spectra of generalized Paley graphs of $(q^\ell+1)$-th powers and applications

Ricardo A. Podestá, Denis E. Videla|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限体 $\mathbb{F}_{q^m}$ 内の $(q^{u}+1)$-乗数に基づく、一般化されたペイリー・グラフの新たな族を導入し、その正確な固有値スペクトルとエネルギーを計算し、整数的で、強く正則的かつ非双分的であることを証明している。主な貢献は、すべての特徴において無限個の整数的ラマヌジャン・グラフの族を構成し、指数 $q^\ell+1$ におけるワーリングの問題を解明し、$g(q^\ell+1, q^m) = 1$ または $2$ であることを示したことである。結果として、等エネルギーで非同型スペクトルをもつグラフが得られ、明示的なイハラゼータ関数が導出される。

ABSTRACT

We consider a special class of generalized Paley graphs over finite fields, namely the Cayley graphs with vertex set $\mathbb{F}_{q^m}$ and connection set the nonzero $(q^\ell+1)$-th powers in $\mathbb{F}_{q^m}$, as well as their complements. We explicitly compute the spectrum and the energy of these graphs. As a consequence, the graphs turn out to be (with trivial exceptions) simple, connected, non-bipartite, integral and strongly regular, of pseudo or negative Latin square type. By using the spectral information we compute several invariants of these graphs. We exhibit infinitely many pairs of equienergetic non-isospectral graphs. As applications, on the one hand we solve Waring's problem over $\mathbb{F}_q^m$ for the exponents $q^\ell+1$, for each $q$ and for infinitely many values of $\ell$ and $m$. We obtain that the Waring's number $g(q^\ell+1,q^m)=1$ or $2$, depending on $m$ and $\ell$, thus solving some open cases. On the other hand, we construct infinite towers of Ramanujan graphs in all characteristics. Finally, we give the Ihara zeta functions of these graphs.

研究の動機と目的

• $(q^\\ell+1)$-乗数を用いて定義される、一般化ペイリー・グラフの新たなクラスのスペクトル的および構造的性質を研究すること。
• すべての特徴において、無限個の整数的で非双分的かつラマヌジャン的グラフの族を構成すること。
• $\mathbb{F}_{q^m}$ 上で指数 $q^\ell+1$ におけるワーリングの問題を解き、ワーリング数 $g(q^\ell+1, q^m)$ を特定すること。
• この構成を用いて、無限個の整数的で等エネルギー的かつ非同型スペクトルをもつグラフのペアを生成すること。
• $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 及びその補グラフのイハラゼータ関数を計算し、ゼータ関数の恒等式を用いてその複雑性を導出すること。

提案手法

• 頂点集合を $\mathbb{F}_{q^m}$ とし、接続集合を $\mathbb{F}_{q^m}^*$ 内の非ゼロの $(q^\ell+1)$-乗数とするケイリー・グラフ $\Gamma_{q,m}(\ell)$ を定義する。
• 二次形式 $Q_{\gamma,\ell}(x) = \operatorname{Tr}_{q^m/q}(\gamma x^{q^\ell+1})$ における指数和を用いて固有値と重複度を計算する。
• 有限体上での二次形式のランクとタイプに関する既知の結果を応用し、$\Gamma_{q,m}(\ell)$ のスペクトルを分類する。
• スペクトル双対性と固有値補完性を用いて、補グラフ $\bar{\Gamma}_{q,m}(\ell)$ のスペクトルを導出する。
• イハラゼータ関数の行列式公式 $\zeta_\Gamma(t)^{-1} = (1-t^2)^{e-n} \prod_{i=1}^n Q(\lambda_i, t)$ を用い、$Q(s,t) = 1 - st + (k-1)t^2$ とする。
• キルホフの公式を用いて、ゼータ関数および固有値データから複雑性 $K(\Gamma)$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_{q^m}$ 内の $(q^\ell+1)$-乗数によって定義されるケイリー・グラフ $\Gamma_{q,m}(\ell)$ のスペクトルは何か？
• RQ2 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ がラマヌジャン・グラフであるためのパラメータは何か？ また、すべての特徴においてこのようなグラフを構成可能か？
• RQ3 ワーリング数 $g(q^\ell+1, q^m)$ は何か？ そして、無限個の $q$, $\ell$, $m$ に対して、それが 1 または 2 に等しいか？
• RQ4 この構成を用いて、無限個の整数的で等エネルギー的かつ非同型スペクトルをもつグラフの族を構成可能か？
• RQ5 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 及びその補グラフの明示的なイハラゼータ関数と複雑性は何か？

主な発見

• $\Gamma_{q,m}(\ell)$ は、自明な場合を除き整数的で、強く正則的かつ非双分的であり、$\ell = m/2$ かどうかにより、2つまたは3つの異なる固有値をもつ。
• $\ell \neq m/2$ の場合、スペクトルは $\{[k]^1, [\upsilon]^{m_\upsilon}, [\mu]^{m_\mu}\}$ であり、整数固有値 $k$, $\upsilon$, $\mu$ と重複度 $m_\upsilon$, $m_\mu$ をもつ。
• ワーリング数 $g(q^\ell+1, q^m)$ は、$m$ が奇数のとき 1、$m$ が偶数のとき 2 であり、無限個の $q$, $\ell$, $m$ に対して未解決であったケースを解消した。
• 本稿は、すべての特徴において無限個の整数的ラマヌジャン・グラフの族を構成し、非双分的なものも含む。
• 明示的なイハラゼータ関数が導出され、$\zeta_\Gamma(t)^{-1}$ は $Q(s,t) = 1 - st + (k-1)t^2$ を用いて固有値の積として表現される。
• 複雑性 $K(\Gamma)$ は $\frac{1}{q^m}(k - \upsilon)^{m_\upsilon}(k - \mu)^{m_\mu}$ として計算され、ゼータ関数の極限を用いて検証された。