[論文レビュー] The spectral theory of generalized Laplacians associated to integrable metrics on compact Riemann surfaces

Mounir Hajli|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン面における可積分計量への一般化ラプラシアンのスペクトル理論を拡張し、離散的で正の固有値をもつ特異ラプラシアン Δ_{X,∞} を構成し、そのゼータ関数が s=0 で正則拡張をもつことを証明する。著者らは ζ′_{Δ_{X,∞}}(0) を用いて正則解析 torsion を定義し、滑らかな近似計量からの torsion の極限と一致することを示し、アラケロフ幾何における特異計量へのレイ・シンガー解析 torsion の一般化を達成する。

ABSTRACT

We extend the spectral theory of generalized Laplacians to integrable metrics on compact Riemann surfaces. As a consequence, we attach in a direct way, a holomorphic analytic torsion to any integrable metrics. We also provide a different approach to define the holomorphic analytic torsion. We prove that both approaches agree.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面における可積分計量への古典的ラプラシアンのスペクトル理論を、滑らかでない特異計量に拡張すること。
• 一般化ラプラシアン Δ_{X,∞} のゼータ関数を用いて、可積分計量に対して直接的に正則解析 torsion を定義すること。
• Δ_{X,∞} を用いて定義された解析 torsion と、滑らかな計量近似からの torsion の極限との間の極限的同値性を確立すること。
• アラケロフ幾何において、P^1 をトーリック多様体と見たときの標準計量に適用可能な、新たな直接的構成法による解析 torsion の提供。

提案手法

• コンパクトなリーマン面 X における可積分計量 h_{X,∞} に関連する滑らかな関数 A^{(0,0)}(X) 上に特異ラプラシアン Δ_{X,∞} を構成する。
• Δ_{X,∞} が稠密に定義されており、対称的であり、ヒルベルト空間 H_2(X) 上に最大の正の自己共役拡張をもつことを証明する。
• Re(s) > 1 に対して ζ_{Δ_{X,∞}}(s) = ∑ λ_n^{-s} とゼータ関数を定義し、それが複素平面全体に正則拡張可能で、s=0 で正則であることを示す。
• 正則解析 torsion を T = ζ′_{Δ_{X,∞}}(0) として定義し、可積分計量に対して直接的な定義を提供する。
• h_{X,∞} に uniformly 収束する滑らかな計量の列 (h_{X,u})_u を構成し、対応する torsion が T に収束することを証明する。
• チーリャの等周不等式を用いて、第一非ゼロ固有値を一様に下から有界化し、近似におけるスペクトル安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分計量（滑らかでない特異計量）をもつコンパクトなリーマン面に対して、ラプラシアンのスペクトル理論を拡張することは可能か？
• RQ2 可積分計量に付随する一般化ラプラシアン Δ_{X,∞} のゼータ関数は、s=0 で正則拡張をもつか？
• RQ3 ζ′_{Δ_{X,∞}}(0) を用いて定義された正則解析 torsion は、滑らかな計量近似からの torsion の極限と等価か？
• RQ4 この一般化された解析 torsion は、アラケロフ幾何において、P^1 をトーリック多様体と見たときの標準計量に適用可能か？

主な発見

• 可積分計量 h_{X,∞} に付随する一般化ラプラシアン Δ_{X,∞} は、A^{(0,0)}(X) 上で離散的で正で無限大の固有値をもつ。
• ゼータ関数 ζ_{Δ_{X,∞}}(s) は Re(s) > 1 で絶対収束し、複素平面全体に正則拡張可能で、s=0 で正則である。
• 正則解析 torsion T((X,ω_{X,∞}),(O,h_O)) は ζ′_{Δ_{X,∞}}(0) としてよく定義されており、可積分計量に対する直接的構成を提供する。
• 任意の滑らかな計量の列 (h_{X,p}) が h_{X,∞} に一様収束するとき、対応する解析 torsion は T((X,ω_{X,∞}),(O,h_O)) に収束する。
• 計量 (X,h_{X,p}) 上のラプラシアンの第一非ゼロ固有値 λ_{p,1} は、p に依存しない正の定数 κ で一様に下から有界である。これによりスペクトル安定性が保証される。
• 本構成は、参考文献 [10] および [11] の結果と計算を確認し、特異設定における解析 torsion の厳密なスペクトル理論的基盤を提供する。