[論文レビュー] The Spectrum of the Force-Based Quasicontinuum Operator for a Homogeneous Periodic Chain

Matthew Dobson, Christoph Ortner+1 more|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|Apr 20, 2010

Numerical methods in engineering参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、均一な周期的鎖に対する線形化された力に基づく準連続体（QCF）作用素が、第二近隣相互作用の場合に、エネルギーに基づく準非局所（QNL）作用素と同一の正の固有値スペクトルを持つことを厳密に証明し、系のサイズや原子的領域のサイズに依存しない固有ベクトル行列の条件数の均一な上限を確立する。これらの結果は、従来の数値的仮説を裏付け、GMRESソルバーの収束に関する厳密な推定とQCF法の新たな安定性境界を可能にする。

ABSTRACT

We show under general conditions that the linearized force-based quasicontinuum (QCF) operator has a positive spectrum, which is identical to the spectrum of the quasinonlocal quasicontinuum (QNL) operator in the case of second-neighbour interactions. Moreover, we establish a bound on the condition number of a matrix of eigenvectors that is uniform in the number of atoms and the size of the atomistic region. These results establish the validity of and improve upon recent conjectures ([arXiv:0907.3861, Conjecture 2] and [arXiv:0910.2013, Conjecture 8]) which were based on numerical experiments. As immediate consequences of our results we obtain rigorous estimates for convergence rates of (preconditioned) GMRES algorithms, as well as a new stability estimate for the QCF method.

研究の動機と目的

• 線形化された力に基づく準連続体（QCF）作用素のスペクトルと固有ベクトルの条件数に関する数値的仮説を厳密に検証すること。
• 系のサイズや原子的領域のサイズに依存しない、QCF法の離散ソボレフ型ノルムにおける均一な安定性境界を確立すること。
• QCF平衡方程式に適用される反復的ソルバー（例：GMRES）の収束に関する理論的基盤を提供すること。
• 次近隣相互作用から一般の有限範囲相互作用へのスペクトル解析を拡張すること。
• 系のサイズ $N$ や原子的領域 $\tau$ に依存しない、$\upsilon^{2,2}$ ノルムにおけるQCF法の新たな安定性推定を導出すること。

提案手法

• 周期的鎖（$N$ 原子）における均一な変形状態のまわりでのQCF作用素の線形化を用いる。
• スペクトル理論と $\times^N$ 内の行列表現を用いて、QCF作用素のスペクトルをエネルギーに基づく準非局所（QNL）作用素と比較する。
• 固有ベクトル行列を明示的に構成し、スペクトル分解と作用素ノルム推定を用いて、$N$ および原子的領域サイズに関して一様にその条件数を上限で抑え込む。
• 有限範囲相互作用の場合、ポテンシャルの2階微分の上限を用いて、QCF作用素のスペクトルが原子的および連続体作用素のスペクトルの間にあることを示す。
• 一様な条件数の上限と前処理された作用素のスペクトル特性を用いて、前処理付きGMRESの収束速度を導出する。
• 平均ゼロ関数の離散ソボレフ空間におけるQCF作用素の逆作用素の解析により、$\upsilon^{2,2}$ ノルムにおける新たな安定性推定を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二近隣相互作用の場合、線形化QCF作用素のスペクトルはQNL作用素と一致するか？
• RQ2 QCF作用素の固有ベクトル行列の条件数は、原子数および原子的領域サイズに関して一様に有界か？
• RQ3 QCF作用素のスペクトル特性は、次近隣相互作用から一般の有限範囲相互作用へ拡張可能か？
• RQ4 QCF平衡方程式を解くための前処理付きGMRES法の収束速度は何か？
• RQ5 QCF作用素は、系のサイズおよび原子的領域サイズに依存しない離散 $\upsilon^{2,2}$ ノルムにおいて安定か？

主な発見

• 第二近隣相互作用の場合、線形化QCF作用素のスペクトルは正であり、QNL作用素と同一である。
• QCF作用素の固有ベクトル行列の条件数は、$N$ および原子的領域サイズに関して一様に有界であり、従来の仮説を上回る。
• 有限範囲相互作用の場合、QCF作用素のスペクトルは、原子的および連続体作用素のスペクトルの間にある。その上限は $N$ および $\tau$ に依存しない。
• QCF系を解くための前処理付きGMRES法の収束は、残差の上限 $\|L_{1}^{-1}r^{(m)}\| \leq C N^3 q^m \|L_{1}^{-1}r^{(0)}\|$ および $\|L_{1}^{-1/2}r^{(m)}\| \leq C N^2 q^m \|L_{1}^{-1/2}r^{(0)}\|$ を満たす。ここで $C>0$, $q\in(0,1)$ は $N$ および $\mathcal{A}$ に依存しない。
• QCF作用素は $\mathcal{U}^{2,2}$ ノルムにおいて安定である：$\|(L^{\rm qcf}_0)^{-1}\|_{L(\mathcal{U}^{0,2},\mathcal{U}^{2,2})}$ は、$N$ や $\mathcal{A}$ に依存しないポテンシャルパラメータにのみ依存する定数で上限が与えられる。