[論文レビュー] Consistent Energy-Based Atomistic/Continuum Coupling for Two-Body Potential: 1D and 2D Case

Alexander V. Shapeev|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2010

Microstructure and mechanical properties参考文献 26被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、1次元および2次元の2体ポテンシャルに対して、離散的および連続的エネルギーへの結合寄与を丁寧に定義することにより、ゴースト力が生じないエネルギーに基づく原子論的/連続体カップリング法を提案する。2次元では、区分的アフィン有限要素を用いて界面での整合性を確保し、数値的検証によりその精度と安定性を示している。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of consistent energy-based coupling of atomistic and continuum models of materials, limited to zero-temperature statics of simple crystals. It has been widely recognized that the most practical coupled methods exhibit large errors on the atomistic/continuum interface (which are often attributed to spurious called ghost forces). There are only few existing works that propose a coupling which is sufficiently accurate near the interface under certain limitations. In this paper a novel coupling that is free from ghost forces is proposed for a two-body interaction potential under the assumptions of either (i) one spatial dimension, or (ii) two spatial dimensions and piecewise affine finite elements for describing the continuum deformation. The performance of the proposed coupling is demonstrated with numerical experiments. The coupling strategy is based on judiciously defining the contributions of the atomistic bonds to the discrete and the continuum potential energy. The same method in one dimension has been independently developed and analyzed in Li and Luskin (arXiv:1007.2336).

研究の動機と目的

• 界面付近で精度を低下させる、恒久的なゴースト力の問題に対処する。
• 特定の条件下でゴースト力を排除する整合性のあるエネルギーに基づくカップリング戦略を開発する。
• 原子論的および連続体エネルギー形式の整合性を保つことで、熱力学的整合性を維持する。
• 連続体の変形を区分的アフィン有限要素で表現することにより、2次元系への拡張を実現する。
• 1次元および2次元の設定において、数値実験を通じて本手法の有効性を示す。

提案手法

• 連続体エネルギー形式と整合するように、離散的エネルギーへの原子論的結合寄与を定義する。
• 2次元で連続体の変形を表現するために、区分的アフィン有限要素を用い、一貫性のあるエネルギー補間を可能にする。
• 結合エネルギーの分配を慎重に設計することで、界面における連続体エネルギーが原子論的エネルギーと一致するように構築する。
• エネルギー勾配を一致させることで、原子論的領域と連続体領域における全エネルギーの整合性を確保する。
• 2体相互作用ポテンシャルを用いて、1次元および2次元系に本カップリング戦略を適用する。
• 界面におけるエネルギーおよび力場の比較を通じて、手法の数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元系において、ゴースト力を排除する整合性のあるエネルギーに基づく原子論的/連続体カップリングを構築できるか？
• RQ2 区分的アフィン有限要素を用いた場合、2次元系においても本手法が整合性と精度を維持できるか？
• RQ3 提案されたカップリング下で、原子論的/連続体界面におけるエネルギーおよび力場の挙動はいかなるものか？
• RQ4 有限要素の形状関数がエネルギーに基づくカップリングの整合性に与える影響は何か？
• RQ5 エネルギー整合性を保ちつつ、不適切な力を排除できるように、一般の2体ポテンシャルへ本手法を拡張できるか？

主な発見

• 提案されたカップリング手法は、2体ポテンシャルを有する1次元系においてゴースト力を効果的に排除した。
• 2次元系では、区分的アフィン有限要素の使用により、エネルギーに基づくカップリングが整合的かつ不適切な力なしに維持されることを確認した。
• 数値実験により、界面全域でエネルギーおよび力場の高精度が維持されていることが確認された。
• 結合エネルギー寄与を一致させることで、原子論的および連続体エネルギー形式間の整合性が達成された。
• 指定された仮定の下で、本手法は2次元設定へも強固かつスケーラブルに拡張可能である。
• 結果は、カップリング戦略の理論的基盤を裏付けており、1次元系において先行する独立研究（LiとLuskin、arXiv:1007.2336）と整合している。