[論文レビュー] The Spinor Representation of Surfaces in Space

Rob Kusner, Nick Schmitt|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、リーマン面からR³への共形埋め込みのスピンル表示を導入し、正則的ホモトピー型とスピン構造との直接的な関係を確立する。特に、スピン構造Sに対応するZ₂-二次形式q_SのArf不変量が、最小埋め込みが埋め込みに正則的ホモトープかどうかを決定することを示し、W-臨界な球面と射影平面の完全分類をこの枠組みで与える。

ABSTRACT

The spinor representation is developed for conformal immersions of Riemann surfaces into space. We adapt the approach of Dennis Sullivan, which treats a spin structure on a Riemann surface M as a complex line bundle S whose square is the canonical line bundle K=T(M). Given a conformal immersion of M into \bbR^3, the unique spin strucure on S^2 pulls back via the Gauss map to a spin structure S on M, and gives rise to a pair of smooth sections (s_1,s_2) of S. Conversely, any pair of sections of S generates a (possibly periodic) conformal immersion of M under a suitable integrability condition, which for a minimal surface is simply that the spinor sections are meromorphic. A spin structure S also determines (and is determined by) the regular homotopy class of the immersion by way of a \bbZ_2-quadratic form q_S. We present an analytic expression for the Arf invariant of q_S, which decides whether or not the correponding immersion can be deformed to an embedding. The Arf invariant also turns out to be an obstruction, for example, to the existence of certain complete minimal immersions. The later parts of this paper use the spinor representation to investigate minimal surfaces with embedded planar ends. In general, we show for a spin structure S on a compact Riemann surface M with punctures at P that the space of all such (possibly periodic) minimal immersions of M\setminus P into \bbR^3 (upto homothety) is the the product of S^1 imes H^3 with the Grassmanian of 2-planes in a complex vector space \calK of meromorphic sections of S. An important tool -- a skew-symmetric form Ωdefined by residues of a certain meromorphic quadratic differential on M -- lets us compute how \calK varies as M and P are varied. Then we apply this to determine the moduli spaces of planar-ended minimal spheres and real projective planes, and also to construct a new family of minimal tori and a minimal Klein bottle with 4 ends. These surfaces compactify in S^3 to yield surfaces critical for the \Moebius invariant squared mean curvature functional W. On the other hand, Robert Bryant has shown all W-critical spheres and real projective planes arise this way. Thus we find at the same time the moduli spaces of W-critical spheres and real projective planes via the spinor representation.

研究の動機と目的

• Riemann面からR³への共形埋め込みのスピンル表示を構築し、Dennis Sullivanの手法を拡張すること。
• 曲面上のスピン構造とそのR³への共形埋め込みの正則的ホモトピー型との直接的対応を確立すること。
• スピン構造に関連するZ₂-二次形式のArf不変量を用いて、最小埋め込みが埋め込みに正則的ホモトープかどうかを特定すること。
• スピンル表示を用いてW-臨界な球面と実射影平面を分類し、それらが埋め込み平面的端と特定のスピンルデータから生じることを示すこと。
• 正則的ホモトピー型のスピンルデータに基づく、トーラスやクラインボトルに埋め込み平面的端を持つ新しい最小曲面の構成。

提案手法

• Riemann面M上のスピン構造Sの正則的ホモトピー型を、正則的ホモトピー型を特徴づけるZ₂-二次形式q_Sを定義する。
• M上の正則的ホモトピー型を特徴づけるZ₂-二次形式q_Sを定義する。
• M上の正則的ホモトピー型を特徴づけるZ₂-二次形式q_Sを定義する。
• Mと穴Pの変化に伴う、正則的ホモトピー型を特徴づけるZ₂-二次形式q_Sを定義する。
• 正則的ホモトピー型を特徴づけるZ₂-二次形式q_Sを定義する。
• 正則的ホモトピー型を特徴づけるZ₂-二次形式q_Sを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピンル表示は、Riemann面からR³への共形埋め込みをどのようにパラメトライズできるか？
• RQ2 曲面上のスピン構造とそのR³への埋め込みの正則的ホモトピー型との正確な関係は何か？
• RQ3 関連するZ₂-二次形式のArf不変量は、最小埋め込みが埋め込みに正則的ホモトープかどうかをどのように決定するか？
• RQ4 スピンル表示を用いて、S³内のすべてのW-臨界な球面と実射影平面を分類できるか？
• RQ5 埋め込み平面的端を持つ最小曲面のモジュライ空間は何か？また、それらは基礎となるRiemann面と穴の変化にどのように依存するか？

主な発見

• スピン構造Sに対応するZ₂-二次形式q_SのArf不変量が、対応する最小埋め込みが埋め込みに正則的ホモトープかどうかを決定する。
• 埋め込み平面的端を持つ最小曲面では、（スケーリングを除いて）埋め込みのモジュライ空間はS¹×H³×Gr(2, K)に同型であり、Kは正則的ホモトピー型を特徴づけるZ₂-二次形式q_Sを定義する。
• 正則的ホモトピー型を特徴づけるZ₂-二次形式q_Sを定義する。
• S³内のすべてのW-臨界な球面と実射影平面は、埋め込み平面的端を持つ最小埋め込みのスピンル表示から生じ、そのモジュライ空間はこの方法で完全に分類される。
• 4つの埋め込み平面的端を持つ新しい最小トーラスと、4つの端を持つ最小クラインボトルが構成され、後者はS³にコンパクト化され、W-臨界曲面をもたらす。
• 有限総曲率を持つクラインボトルでは、二重被覆は2ω₁∈Rと2ω₃∈iRで生成される格子Λを持つ長方形トーラスC/Λであり、被覆写像はI(u)=ū+ω₁で与えられ、許容可能なスピン構造は℘(u)−℘(ω₂)と℘(u)−℘(ω₃)によって特徴づけられる。