[論文レビュー] The Srni lectures on non-integrable geometries with torsion

Ilka Agricola|ArXiv.org|Jun 28, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 150被引用数 106

ひとこと要約

本稿は、リーマン幾何学および超弦理論における非可積分幾何を統一的に扱う枠組みとして、ねじれを伴う計量接続を導入する。内在的ねじれおよびG-構造の特徴的接続を用いて、ねじれを伴うディラック作用素のワイツェンボッッック公式を導出し、それらを平行スピン形式およびコスタンタンの立方体ディラック作用素と結びつける。さらに、これらがII型超弦理論の共通領域における役割を確立する。

ABSTRACT

This review article intends to introduce the reader to non-integrable geometric structures on Riemannian manifolds and invariant metric connections with torsion, and to discuss recent aspects of mathematical physics--in particular superstring theory--where these naturally appear. Connections with skew-symmetric torsion are exhibited as one of the main tools to understand non-integrable geometries. To this aim a a series of key examples is presented and successively dealt with using the notions of intrinsic torsion and characteristic connection of a $G$-structure as unifying principles. % The General Holonomy Principle bridges over to parallel objects, thus motivating the discussion of geometric stabilizers, with emphasis on spinors and differential forms. Several Weitzenböck formulas for Dirac operators associated with torsion connections enable us to discuss spinorial field equations, such as those governing the common sector of type II superstring theory. They also provide the link to Kostant's cubic Dirac operator.

研究の動機と目的

• 歪対称ねじれを伴う計量接続を用いて、さまざまなG-構造における非可積分幾何の統一的取り扱いを図ること。
• 内在的ねじれおよび特徴的接続がG-構造の組織的原則として果たす役割を確立すること。
• 幾何的安定化子（特に平行スピン形式および微分形式）をホロノミーおよび物理的理論と結びつけること。
• ねじれを伴うディラック作用素のワイツェンボッッック公式を導出し、超弦理論におけるスピン形式の場の運動方程式と結びつけること。
• ねじれ接続が非自明なB場を伴うストロミンガー模型に対する幾何的解を与える仕組みを示すこと。

提案手法

• G-構造の分類およびねじれを伴う計量接続の特徴付けに、内在的ねじれの概念を用いる。
• 一般ホロノミー原理を適用し、幾何的安定化子（例：平行スピン形式）を特徴的接続に関連付ける。
• ねじれ接続下でのディラック作用素の二乗に対するワイツェンボッッック公式を導出し、特徴的接続に対してはカシミール作用素を含む。
• 最初のバインチ恒等式から導かれる曲率不変量として、4形式σ_T = g(T(·,·),T(·,·))を導入する。
• 発散公式δ^∇ω = δ^gω − ½∑(ei∧ej∧T)∧(ei∧ej∧ω)を用いて、形式の∇-およびg-微分を関連付ける。
• リーマン曲率R^gと∇-曲率R^∇の関係をR^g = R^∇ − ½∇T + ¼g(T,T) − ¼σ_Tで与え、リッチおよびスカラー曲率を適切に調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪対称ねじれを伴う計量接続は、さまざまなG-構造における非可積分幾何をどのように統一的に記述できるか？
• RQ2 内在的ねじれは、非可積分幾何の分類および特徴的接続の特定において、どのような役割を果たすか？
• RQ3 ねじれを伴うディラック作用素のワイツェンボッッック公式は、平行スピン形式およびコスタンタンの立方体ディラック作用素とどのように関係するか？
• RQ4 ∇T = 0およびδT = 0を満たすねじれ接続は、II型超弦理論におけるストロミンガー模型に対してどのように解を与えるか？
• RQ5 σ_TおよびTの発散を含む曲率恒等式は、接続のリッチおよびスカラー曲率にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ねじれを伴うディラック作用素の二乗は、曲率およびねじれ項に分解されるワイツェンボッッック公式を満たし、平行スピン形式の解析が可能になる。
• 歪対称ねじれを伴う計量接続において、ねじれ形式の発散はδ^∇T = δ^gT = δTを満たし、Tが∇-平行であればδT = 0となる。
• 接続∇のリッチ曲率はRic^∇(X,Y) = Ric^g(X,Y) + ½δT(X,Y) − ¼∑g(T(e_i,X),T(e_i,Y))で与えられ、δT = 0のときRic^∇は対称となる。
• スカラー曲率はscal^∇ = scal^g − ³⁄₂||T||²と変換され、ねじれによる直接的な減少が示される。
• 4形式σ_Tはσ_T(X,Y,Z,V) = g(T(X,Y),T(Z,V)) + g(T(Y,Z),T(X,V)) + g(T(Z,X),T(Y,V))で定義され、曲率恒等式に現れる。
• ∇T = 0のとき、dT = 2σ_Tが成り立ち、ねじれの外微分が内在的曲率形式σ_Tと結びつく。