[論文レビュー] The stochastic integrable AKNS hierarchy

Alexis Arnaudon|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ラグランジュ還元と確率的曲率ゼロ関係に基づく幾何的技法を用いて、時間的ノイズ下でも可積分性を保つ確率的可積分AKNS階層を導出する。主な貢献は、確率的逆散乱変換を用いた一様なフレームワークにより、確率的NLS、KdV、mKdV、およびカマッサ＝ホルム方程式を導出し、特にタイプIIのCH方程式に対して新たな確率的ピークオン動力学を明らかにすることである。

ABSTRACT

We derive a stochastic AKNS hierarchy using geometrical methods. The integrability is shown via a stochastic zero curvature relation associated with a stochastic isospectral problem. We expose some of the stochastic integrable partial differential equations which extend the stochastic KdV equation discovered by M. Wadati in 1983 for all the AKNS flows. We also show how to find stochastic solitons from the stochastic evolution of the scattering data of the stochastic IST. We finally expose some properties of these equations and also briefly study a stochastic Camassa-Holm equation which reduces to a stochastic Hamiltonian system of peakons.

研究の動機と目的

• 可積分PDEに時間的ノイズを追加する体系的な手法を構築し、完全可積分性を保つこと。
• Wadatiの確率的KdV方程式を、幾何学的および等スペクトル的手法を用いて、全AKNS階層へと拡張すること。
• 確率的曲率ゼロ関係と整合する確率的逆散乱変換（IST）を定式化すること。
• カマッサ＝ホルム方程式の確率的版を導出し、特に確率的ピークオン系を生じる方程式を分析すること。
• 可積分系における確率的変形の物理的・数学的意味、特にソリトン動力学と保存則の文脈での意義を明らかにすること。

提案手法

• 対称性によるラグランジュ還元を用いて決定的AKNS階層を導出し、その後[28]の流体・力学系の枠組みを用いて確率的変形を適用する。
• 可積分性条件として確率的曲率ゼロ関係（ZCR）を実装し、確率的系が可積分性を保つことを保証する。
• 確率的逆散乱変換（IST）を用いて1ソリトン解を構成し、特に確率的NLS方程式に対して有効である。
• AKNS枠組みを拡張して、タイプI、II、IIIの確率的カマッサ＝ホルム方程式を導出し、タイプIIが確率的ピークオン系を生じることを示す。
• ストラトノビッチ微積分の形式を用い、ノイズ項を同じ階層の流れに比例させる。これにより幾何的整合性が保証される。
• この手法を用いて、確率的CH方程式を、決定的ケースと同様の構造を保つ確率的ハミルトニアン系のピークオンに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的ノイズ下でも可積分性が保たれるように、AKNS階層の確率的変形を構築可能か？
• RQ2 確率的逆散乱変換は決定的バージョンとどのように異なるのか？また、どのような種類の解を生成できるか？
• RQ3 タイプIIの確率的カマッサ＝ホルム方程式の文脈において、確率的ピークオンの動的性質は何か？
• RQ4 この確率的変形手法は、AKNSを越えて他の可積分階層へ一般化可能か？
• RQ5 同じ階層の流れに比例するノイズ項の物理的・数学的意義は何か？

主な発見

• ラグランジュ還元と確率的変形を用いて、確率的AKNS階層が導出され、確率的曲率ゼロ関係により可積分性が保たれる。
• 確率的逆散乱変換は、確率的NLS方程式に対して1ソリトン解を効果的に生成し、Wadatiの確率的KdV結果を拡張する。
• タイプIIの確率的カマッサ＝ホルム方程式は、$ dq_i = u(q_i,t)(dt + \circ dW) $、$ dp_i = -p_i u(q_i,t)(dt + \circ dW) $ で支配される確率的ハミルトニアン系のピークオンを生じる。
• 確率的ピークオン系は運動量 $ P = p_1 + p_2 $ とエネルギー $ H = \frac{1}{2}(p_1^2 + p_2^2) $ といった保存量を保ち、ピークオンの重複を防ぐ。
• タイプIIの確率的CH方程式のハミルトニアンは形式的に $ h(p,q)dt = \frac{1}{2}\sum_{i,j} p_i p_j e^{-|q_i - q_j|/\alpha}(dt + \circ dW) $ と表され、決定的ハミルトニアンと同一の確率的ポテンシャルを持つ。
• 本手法は一般性を有し、与えられた枠組み下で、NLS、KdV、mKdV方程式の確率的可積分版として導出された方程式が唯一の可能性であると示唆する。