[論文レビュー] Constrained and stochastic variational principles for dissipative equations with advected quantities

Xin Chen, Ana Bela Cruzeiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 46被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、リー群上での輸送量を伴う散乱系に対して、制約付きおよび確率的変分原理を定式化し、決定論的かつ空間的表現された運動方程式を導出可能にする。微分同相群に理論を適用することで、粘性性・圧縮性を有する磁気流体力学（MHD）系が主要な応用例として得られる。

ABSTRACT

We develop symmetry reduction for material stochastic Lagrangian systems with advected quantities whose configuration space is a Lie group, obtaining deterministic constrained variational principles and dissipative equations of motion in spatial representation. We discuss in detail the situation when the group in the general theory is a group of diffeomorphisms and derive, as an application, an MHD system for viscous compressible fluids.

研究の動機と目的

• リー群上での輸送量を伴う散乱系に対する変分原理の開発。
• 対称性削減を用いて確率的および決定論的定式化を統合する。
• 散乱を伴う物理系の運動方程式の空間的表現の導出。
• 微分同相群へのフレームワークの適用により、粘性性・圧縮性MHD系を導出する。

提案手法

• リー群上での輸送量を伴う材料的確率的ラグランジュ系における対称性削減を用いる。
• Euler-Poincaré削減を適用して、空間的表現の運動方程式を導出する。
• リー代数構造を介して制約を課すことにより、散乱効果をモデル化する。
• ラグランジュ枠組みに確率性を導入することで、ランダムな揺らぎを考慮する。
• 一般理論を微分同相群に適用し、流体力学をモデル化する。
• 一般枠組みの具体例として、粘性性・圧縮性MHD系を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 輸送量を伴う系において、散乱と確率性を両方含む変分原理をどのように拡張できるか。
• RQ2 対称性削減が、材料空間における確率的ラグランジュ関数から空間的運動方程式へと変換する役割を果たす仕組みは何か。
• RQ3 特に微分同相群を含むリー群の選択が、得られる流体力学的方程式にどのように影響を与えるか。
• RQ4 一般枠組みが、確率的変分原理から一貫して粘性性・圧縮性MHD系を導出できるか。
• RQ5 確率的ラグランジュ関数と導出された散乱方程式との一貫性を保証するための幾何学的および代数的構造は何か。

主な発見

• 対称性削減を用いることで、輸送量を伴う散乱系の決定論的かつ空間的表現された運動方程式が成功裏に導出された。
• 幾何的枠組みにおいて、確率的および制約付き変分原理がリー群上ですべて統合された。
• 微分同相群への応用により、一貫性のある粘性性・圧縮性MHD系が、新規な結果として得られた。
• 導出されたMHD系は、下位にあるリー群の幾何的構造を通じて、粘性性と圧縮性を統合的に表現している。
• 輸送量に関連する保存則を含む、系の物理的構造が保持された。
• このアプローチは、確率的ラグランジュモデルから物理的に意味のある散乱偏微分方程式へと体系的かつ一貫した道筋を提供する。