[論文レビュー] The stochastic logarithmic Schrödinger equation

Viorel Barbu, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スケーリング変換法と最大単調作用素理論を用いて、線形的乗法的ノイズを伴う確率的対数シュレーディンガー方程式の解のグローバル存在および一意性を確立する。エネルギー空間 $H^1(\mathbb{R}^d)$ および特化されたオルリッチ空間において一様推定を証明し、非リプシッツ非線形性を準単調性およびコンパクト埋め込みの議論により確率的設定下で克服する。

ABSTRACT

In this paper we prove global existence and uniqueness of solutions to the stochastic logarithmic Schrödinger equation with linear multiplicative noise. Our approach is mainly based on the rescaling approach and the method of maximal monotone operators. In addition, uniform estimates of solutions in the energy space $H^1(\mathbb{R}^d)$ and in an appropriate Orlicz space are also obtained here.

研究の動機と目的

• 線形的乗法的ノイズを伴う確率的対数シュレーディンガー方程式の解のグローバル存在および一意性を確立すること。
• 確率的設定下で非リプシッツ非線形性 $y \mapsto y \log|y|^2$ の課題を克服すること。
• エネルギー空間 $H^1(\mathbb{R}^d)$ および適切なオルリッチ空間 $V$ における一様事前推定を導出すること。
• 作用素論的および確率論的技法を用いて、決定論的適切性結果を確率的状況に拡張すること。

提案手法

• 最大単調作用素解析に適した形に変換可能な確率的方程式に還元するためのスケーリング変換を用いる。
• 無限次元確率的PDEフレームワーク下で、非線形ドリフト項 $X \log|X|^2$ を処理するために最大単調作用素法を適用する。
• 解の正則化を図るためのモリフィケーション技法 $\psi_\delta$ を用い、伊藤の公式を伊藤＝スコロホドの意味で正当化する。
• モリフィケーションされた解における一様有界性を用いて空間変数 $\xi$ における連続性を確立し、一般化された有界収束定理を適用する。
• 特異性を制御し、確率的フビニの定理により積分の交換を可能にするために、切り捨てられた対数非線形性 $L_{1/m}$ を導入する。
• 近似列における極限への移行を保証するため、$H^1(\mathbb{R}^d)$ およびオルリッチ空間 $V$ における事前推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツ性を示す対数非線形性の存在にもかかわらず、線形的乗法的ノイズを伴う確率的対数シュレーディンガー方程式のグローバル適切性は確立可能か？
• RQ2 生成子 $i\Delta$ が強制的でない確率的PDEに最大単調作用素法をどのように適合できるか？
• RQ3 $H^1(\mathbb{R}^d)$ およびオルリッチ空間におけるどのような事前推定が、近似解列の収束を保証するために必要かつ十分か？
• RQ4 コンパクト埋め込みの議論を決定論的状況から確率的状況に拡張し、非線形項における極限への移行を可能にするか？

主な発見

• 初期データが $H^1(\mathbb{R}^d)$ に属する場合、確率的対数シュレーディンガー方程式の解のグローバル存在および一意性が確立される。
• エネルギー空間 $H^1(\mathbb{R}^d)$ において一様事前推定が得られ、解の $H^1$ ノルムが時間的に有界であることが保証される。
• 解は特定のオルリッチ空間 $V$ において一様有界であることが示され、零および無限大付近での対数非線形性が制御される。
• 準単調性および正則化技法を用いて、$y \mapsto y \log|y|^2$ の局所リプシッツ連続性の欠如を効果的に克服した。
• ノルムの二乗 $|X(t)|^2_{L^2}$ が連続な局所マルティンゲールであることが示され、平均ノルム二乗保存が成立し、開放量子系における物理的確率測度の定義が可能になる。
• 一般化された有界収束定理および連続性の議論により、モリフィケーションされた解の収束が正当化され、非線形項における極限への移行が可能になる。