[論文レビュー] The stochastic permanence of malaria, and the existence of a stationary distribution for a class of malaria models

Divine Wanduku|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、独立したホワイトノイズ過程を介して伝達率と死亡率におけるランダムフラクチュエーションを組み込んだ、マラリア動態のための確率的微分方程式モデルのクラスを提案する。リャプノフ汎関数技法と局所マルティンゲールの特徴付けを用いて、確率的恒常性および一意な定常分布の存在に関する条件を確立し、高いノイズ強度（特に自然死滅率からのもの）がシステムを不安定化させ、絶滅リスクを増加させることを示している。数値シミュレーションにより、エンドミック平衡点付近の病態の定常分布が近似されている。

ABSTRACT

This paper investigates the stochastic permanence of malaria and the existence of a stationary distribution for the stochastic process describing the disease dynamics over sufficiently longtime. The malaria system is highly random with fluctuations from the disease transmission and natural deathrates, which are expressed as independent white noise processes in a family of stochastic differential equation epidemic models. Other sources of variability in the malaria dynamics are the random incubation and naturally acquired immunity periods of malaria. Improved analytical techniques and local martingale characterizations are applied to describe the character of the sample paths of the solution process of the system in the neighborhood of an endemic equilibrium. Emphasis of this study is laid on examination of the impacts of (1) the sources of variability- disease transmission and natural death rates, and (2) the intensities of the white noise processes in the system on the stochastic permanence of malaria, and also on the existence of the stationary distribution for the solution process over sufficiently long time. Numerical simulation examples are presented to illuminate the persistence and stochastic permanence of malaria, and also to numerically approximate the stationary distribution of the states of the solution process.

研究の動機と目的

• 伝達率および自然死滅率における環境的ノイズの下でのマラリアの確率的恒常性を分析すること。
• 長期的な時間スケールにおける確率的マラリア過程の定常分布の存在を調査すること。
• 伝達率および自然死滅率からのノイズ強度が、病気の持続可能性および分布に与える影響を検討すること。
• 解析的解が存在しない場合に、感受性、潜伏、感染、回復者集団の病態の定常分布を数値的に近似すること。
• 非線形感染率および確率的遅れが長期的病気動態に与える影響を評価すること。

提案手法

• 一般の非線形感染関数 G を用いた、伊藤＝ドゥーブ型の確率的微分方程式の族を定式化し、マラリア伝播をモデル化する。
• 独立したホワイトノイズ過程を導入し、病気伝播および自然死滅率におけるランダムフラクチュエーションを表現する。
• サンプルパスの挙動を、潜在的エンドミック平衡点の周辺で解析するために、リャプノフ汎関数技法および局所マルティンゲールの特徴付けを適用する。
• 異なるノイズ強度およびパrameterセットの下で、確率過程の軌道を追跡するために数値シミュレーションを用いる。
• 複数の実現における病態の定常分布を近似するために、アンサンブルシミュレーションを採用する。
• ノイズ源および強度が長期的システム安定性および絶滅リスクに与える影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 伝達率および死亡率におけるランダムフラクチュエーションが存在する状況下で、マラリアがどのような条件下で確率的恒常性を示すのか。
• RQ2 長期的な時間スケールにおいて、確率的マラリアモデルに対して一意な定常分布が存在するか。
• RQ3 伝達率と自然死滅率からのノイズ強度が、マラリアの持続可能性および分布に与える影響は何か。特に、両者の違いに注目する。
• RQ4 非線形感染率および確率的遅れが、病気の長期的挙動に与える影響は何か。
• RQ5 解析的解が存在しない場合に、病態の定常分布を数値的に近似できるか。

主な発見

• 特に自然死滅率からのホワイトノイズ過程の高い強度は、システムをエンドミック平衡点からさらに遠ざけ、集団絶滅のリスクを高める。
• 与えられたパrameterセット下で、感受性集団の定常分布は、中心（アンサンブル平均）が区間 [6.5, 8.0] の範囲にある近似的に対称である。
• 潜伏、感染、回復者クラスの定常分布についても、それぞれ区間 [2.45, 2.85]、[2.8, 3.6]、[0.95, 1.90] の範囲に中心を持つ近似的に対称である。
• 与えられたシステムパラメータセットに対して、定常分布は一意であるが、その統計的性質（例：平均、分散）はパラメータ値に応じて変化する。
• 数値シミュレーションの結果、自然死滅率からのノイズの方が、伝達率からのノイズよりも強い不安定化効果を示している。
• モデルは、中程度のノイズ下ではマラリアが確率的に持続可能であることを確認しているが、高いノイズ強度では持続可能性の可能性が顕著に低下する。