[論文レビュー] The Stochastic Representation of Hamiltonian Dynamics and The Quantization of Time

Matthew F. Brown|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間の量子化を通じてハミルトニアン力学を確率的表現する手法を提案し、ユニタリな量子力学的進化が、物体時計の相互作用に起因する数え上げ過程の期待値として現れることを示している。ベルヴィンキンの$Σ$-代数形式を用いて、擬似自己随伴シュレーディンガー境界値問題を導出し、ミンコフスキー＝フォーク空間における決定的量子力学的ダイナミクスと量子確率過程を結びつける。これは、ファインマン経路積分の基礎となる、時間の微視的拡張を提供する。

ABSTRACT

Here it is shown that the unitary dynamics of a quantum object may be obtained as the conditional expectation of a counting process of object-clock interactions. Such a stochastic process arises from the quantization of the clock, and this is derived naturally from the matrix-algebra representation of the nilpotent Newton-Leibniz time differential [Belavkin]. It is observed that this condition expectation is a rigorous formulation of the Feynman Path Integral.

研究の動機と目的

• 決定的量子力学的ダイナミクスの厳密な確率的基礎を、ベルヴィンキンの量子確率的積分形式によって確立すること。
• 微分増分$π(π t)$の冪零$Σ$-代数表現から時間の量子化を導出すること。
• ヒルベルト空間$χ$におけるユニタリ進化が、量子時計のミンコフスキー＝フォーク空間のトレースとして生じることを示すこと。
• ファインマン経路積分を、拡張されたヒルベルト空間における確率的数え上げ過程の条件付き期待値として解釈すること。
• シュレーディンガー方程式を擬似ポアソン過程および第二量子化されたディラック型境界値問題へ一般化すること。

提案手法

• 本稿は、ベルヴィンキンの$Σ$-代数形式を用いて、ニュートン＝ライプニッツの微分$π t$を、$π t × π t = 0$を満たす冪零$†$-代数として表現する。
• 量子イト代数の表現ベクトル空間として、ミンコフスキー＝ヒルベルト空間を構築し、標準的フォーク空間の代わりに擬似リーマン的構造を導入する。
• 物体時計相互作用の確率的ダイナミクスは、ヒルベルト積$χ ⊗ ℐ$における数え上げ過程としてモデル化される。ここで$ℐ$は時計のミンコフスキー＝フォーク空間である。
• ヒルベルト空間$χ$におけるユニタリ進化は、時計の自由度をトレースすることで得られ、確率過程上の条件付き期待値と等価である。
• 本手法は、$†$-対合を可能にするための擬似計量$π(π t) - π(π t)^*$を導入し、擬似自己随伴シュレーディンガー問題の構築を可能にする。
• 時計空間にノイズ成分$χ^{∘} = L^2(ℝ_+)$を含めることで、量子確率過程へ一般化され、拡張されたフォーク空間$χ ⊗ ℐ$における階層的積構造が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間$χ$における決定的ハミルトニアン力学は、物体時計相互作用の確率的数え上げ過程からどのように導出可能か？
• RQ2 時間の量子化は、確率的拡張を通じてどのようにユニタリな量子進化を生成するか？
• RQ3 ベルヴィンキンの量子確率的積分形式は、ハドソン＝パルササラシーのアプローチに比べ、量子力学的ダイナミクスのより厳密な基礎をどのように提供するか？
• RQ4 ファインマン経路積分は、拡張されたヒルベルト空間における確率過程の期待値として、どのように厳密に解釈可能か？
• RQ5 ミンコフスキー＝フォーク空間は、時計の表現およびシュレーディンガー方程式の擬似自己随伴形式化を可能にする上で、どのような重要性を有するか？

主な発見

• ヒルベルト積$χ ⊗ ℐ$における物体時計相互作用の数え上げ過程の期待値として、$χ$におけるユニタリな量子力学的ダイナミクスが生じる。
• 時間の量子化は、$π t$の冪零$Σ$-代数構造から導出され、時計のミンコフスキー＝ヒルベルト空間表現が得られる。
• 確率過程が、過去・未来の条件を満たす擬似自己随伴シュレーディンガー境界値問題と等価であることが示された。
• ディラック方程式は、過去・未来成分を結合する境界条件を有する第二量子化・質量ゼロ形に一般化された。
• ファインマン経路積分は、拡張されたミンコフスキー＝フォーク空間$χ ⊗ ℐ$における確率的伝播子の条件付き期待値$ℓ_{∅}[\u2190σ^{×}_t]$として、厳密に解釈された。
• ノイズ成分$χ^{∘} = L^2(ℝ_+)$の導入により、フレームワークは開放系量子系へ一般化され、標準的量子確率的積分形式が特別な場合として回復された。