[論文レビュー] The String Partition Function for QCD on the Torus

Robert E. Rudd|ArXiv.org|Jul 26, 1994

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、SU(N)およびチャーミカルU(N)ゲージ群をもつトーラス上の純粋なグルーオンQCDの正確なストリング分配関数を、モジュラー共変性とヒートカーネル技法を用いて計算する。自由エネルギーは、モジュラー形式を用いて8 genusまで正確に導出され、弱い結合定数・小面積極限において予想に反して穏やかな特異性を示すが、高genusの振幅に対しては単純な微分方程式が存在しないことが判明する。

ABSTRACT

We study the free energy of the pure glue QCD string with a torus target space and the gauge groups $SU(N)$ and (chiral) $U(N)$. It is highly constrained by a strong/weak gauge coupling duality which results in modular covariance. The string free energy is computed exactly in terms of modular forms for worldsheet genera 1 - 8. It has a surprisingly mild singularity in the weak gauge coupling/small area limit.

研究の動機と目的

• SU(N)およびチャーミカルU(N)ゲージ群をもつトーラス上の純粋グルーオンQCDの正確なストリング分配関数を計算すること。
• モジュラー共変性と強結合・弱結合双対性を活用して、自由エネルギーの構造を制約すること。
• ヒートカーネル和と群表現論を用いて、自由エネルギーを8 genusまで正確に導出すること。
• モジュラー不変性があるにもかかわらず、高genus振幅に対して単純な微分方程式が存在しない理由を調査すること。
• チャーミカルU(N)自由エネルギーにおける境界なし構造が、ハンドル生成作用素の存在を示唆するかを検討すること。

提案手法

• SU(N)およびU(N)の既約表現を用いて、QCD 2次元分配関数の大N展開を用いる。
• ヒートカーネル形式を適用し、分配関数をカシミール作用素および次元因子を伴う表現の和として表現する。
• 特にイーゼンスタイン級数 $E_2$, $E_2'$, $E_2''$ を用いて、genus 1から8にわたる自由エネルギーをパrameter化する。
• 組合せ的群論および対称関数の恒等式を用いて、各genus $g$ における自由エネルギー $F_g$ の正確な表現を導出する。
• 分配関数のモジュラー不変性を用いて、ケーラーモジュラスおよびゲージ結合定数への関数的依存性を制約する。
• 再帰的関係およびモジュラー形式の代数的変形を用いて、genus 5から8の振幅を計算するが、長さの都合で完全な表現は省略される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(N)およびチャーミカルU(N)ゲージ群をもつトーラス上でのQCDストリング分配関数を、どのように正確に計算できるか？
• RQ2 モジュラー共変性は、ストリング摂動理論における自由エネルギーの構造にどのような制約を課えるか？
• RQ3 非自明なダイナミクスがあるにもかかわらず、弱い結合定数／小面積極限において自由エネルギーが驚くほど穏やかな特異性を示すのはなぜか？
• RQ4 自由エネルギーが異なるgenus間で関連づけられる微分方程式は存在するのか？もし存在しないのなら、標準的な候補（例えば正則異常方程式）がなぜ失敗するのか？
• RQ5 チャーミカルU(N)自由エネルギーに境界寄与がないという事実は、ハンドル生成作用素の存在を示唆するか？

主な発見

• モジュラー形式を用いて、トーラス上のQCD自由エネルギーを8 genusまで正確に計算し、genus 1から4について明示的な表現が導出された。
• genus 1の自由エネルギーは $F_1 = \frac{\epsilon_0}{12}\left(\frac{\lambda A}{2}\right) - 2\log\eta$ であり、$\eta$ はデデキンドのエータ関数である。
• genus 2および3の自由エネルギーは $E_2$, $E_2'$, $E_2''$ を用いて表現され、$F_2$ および $F_3$ は $\lambda A / (2N)$ および $\lambda A / (2N^2)$ の累乗と有理数係数を含む。
• genus 4の自由エネルギーは、$E_2$, $E_2'$, $E_2''$ の18項の複雑な組み合わせを含み、係数は最大 $10^7$ に達し、高genusにおける計算の複雑さを確認する。
• genus 5から8の自由エネルギーは、マスターフォーミュラ (A.53)–(A.56) から代数的に導出されたが、長さの都合で表示されていない。
• モジュラー不変性と強い双対性があるにもかかわらず、$F_g$ と低genus振幅を結ぶ単純な微分方程式は得られず、既知の異常方程式を超える非自明な構造が示唆される。