[論文レビュー] The strong renewal theorem

Francesco Caravenna|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、安定分布の指数 $\alpha \in (0,1)$ の分野に属する正の増分をもつ実数のランダムウォークに対して、強い再生定理（SRT）の完全な特徴付けを提供する。$\alpha \leq \frac{1}{2}$ の場合にSRTが成り立つための必要十分条件を特定し、尾の挙動と再生測度を含む明示的な積分条件を提示することで、長年の未解決問題を解決する。一方、負の増分を許容する場合にはその条件が成り立たないことを示す。

ABSTRACT

We consider real random walks with positive increments (renewal processes) in the domain of attraction of a stable law with index $α\in (0,1)$. The famous local renewal theorem of Garsia and Lamperti, also called strong renewal theorem, is known to hold in complete generality only for $α> \frac{1}{2}$. Understanding when the strong renewal theorem holds for $α\le \frac{1}{2}$ is a long-standing problem, with sufficient conditions given by Williamson, Doney and Chi. In this paper we give a complete solution, providing explicit necessary and sufficient conditions (an analogous result has been independently and simultaneously proved by Doney in arXiv:1507.06790). We also show that these conditions fail to be sufficient if the random walk is allowed to take negative values. This paper is superseded by arXiv:1612.07635

研究の動機と目的

• 正の増分をもつランダムウォークに対して、尾指数 $\alpha \leq \frac{1}{2}$ のとき、強い再生定理（SRT）が成り立つ条件を特定するという長年の未解決問題を解決すること。
• 従来の十分条件（例えば、$\mathsf{r}(x)$ のグローバル有界性や積分基準）を超えて、明示的な必要十分条件を提示すること。
• 導出された条件が鋭いかどうかを示すために、ランダムウォークが負の値をとることを許容する場合に条件が成り立たないことを示すこと。
• Doney, Chi, Williamson の先行研究を統合・拡張し、正の増分の場合に完全な解を得ること。
• 正則変動理論を用いて、再生測度の局所的挙動と増分分布の尾関数との間の明確な関係を確立すること。

提案手法

• 尾の局所的挙動をグローバルな尾と比較する関数 $\mathsf{r}(x) = x \cdot A(x) \cdot F(x+I) / \overline{F}(x)$ を含む新しい積分条件を導入する。
• SRTの条件を $\lim_{\eta \to 0} \left\{ \limsup_{x \to \infty} \frac{1}{A(x)^2} \int_1^{\eta x} \frac{A(s)^2}{s} \mathsf{r}(x-s) \, ds \right\} = 0$ として導出し、これが $\alpha \leq \frac{1}{2}$ の場合に必要十分であることを示す。
• 再生測度 $U$ の漸近的挙動をラプラス変換とタウーバー型定理を用いて分析し、正則変動理論を応用する。
• カップリング法とパス分解を用いて、$\mathrm{P}(S_n \in x+J)$ の確率を評価し、一つの大きなジャンプが和を支配する事象を利用する。
• 変数変換と正則変動関数 $A(x)$ に基づく推定を用いて、積分表現を制御する。
• 必要性の証明では、条件の不成立がSRTの破綻を引き起こすことを背理法と $\mathrm{P}(X \in (x-w,x])$ の漸近的推定を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の増分をもつランダムウォークに対して、$\alpha \leq \frac{1}{2}$ のとき、強い再生定理（SRT）が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ2 従来の十分条件（例：$\mathsf{r}(x)$ のグローバル有界性や積分基準）を特徴付けにまで強化できるか？
• RQ3 なぜ、尾条件（1.1）が成り立っても、ランダムウォークが負の値をとることを許容する場合にはSRTが成り立たないのか？
• RQ4 領域に属する場合、再生測度 $U(x+I)$ の局所的挙動は、尾関数 $\overline{F}(x)$ と関数 $A(x)$ とどのように関係するか？
• RQ5 積分条件（1.11）は他の既知の十分条件と同値であるか？また、特殊な場合（例：$\alpha < 1/2$）では簡略化可能か？

主な発見

• $\alpha > \frac{1}{2}$ の場合、領域に属する条件（1.1）のもとでSRTは条件なしに成り立つことが確認され、古典的結果を裏付ける。
• $\alpha \leq \frac{1}{2}$ の場合、SRTが成り立つのは、$\lim_{\eta \to 0} \left\{ \limsup_{x \to \infty} \frac{1}{A(x)^2} \int_1^{\eta x} \frac{A(s)^2}{s} \mathsf{r}(x-s) \, ds \right\} = 0$ が成り立つときであり、これが主な必要十分条件である。
• $\alpha < \frac{1}{2}$ の場合、条件（1.11）は $\lim_{\eta \to 0} \left\{ \limsup_{x \to \infty} \frac{1}{A(x)^2} \int_1^{\eta x} \frac{A(s)^2}{s^2} \mathsf{R}_0(x-s, x) \, ds \right\} = 0$ と同値であり、ここで $\mathsf{R}_0(a,b) = \int_a^b \mathsf{r}(y) \, dy$ である。
• 本稿では、負の増分を許容する場合でさえも（1.1）が成り立つとしても、条件が成り立たないことを示し、正の増分仮定の必要性を証明する。
• 条件（1.11）は、Chi [C13, C15] と Williamson [W68] の以前の十分条件を含み、$\mathsf{r}(x)$ のグローバル有界性よりも厳密に弱い。
• 証明により、$\mathrm{P}(X \in (x-w,x])$ が $o(A(x)/x)$ として減少しない場合にはSRTが成り立たないことが示され、これはSRTが成り立つために必要不可欠であることが判明する。