[論文レビュー] The strong renewal theorem with infinite mean via local large deviations

R. A. Doney|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限平均を伴う漸近的安定な再生過程において、$\alpha \in (0,1)$ の場合に強再生定理（SRT）が成り立つための必要十分条件を確立する。Gnedenkoの局所中心極限定理の誤差項を改善した精緻な局所大偏差評価を導出し、SRTが成り立つのは、ステップ分布の尾部に二つの尾条件が満たされる場合に限ることを証明した。すなわち、$\lim_{x\to\infty}x\overline{F}(x)p(x)=0$ および $\lim_{\delta\to 0}\limsup_{x\to\infty}x\overline{F}(x)\sum_{1}^{\delta x}\frac{p(x-w)}{w\overline{F}(w)^2}=0$ が成り立つ場合であり、GarsiaとLamperti（1963年）が提起した長年の未解決問題を完全に解決した。

ABSTRACT

A necessary and sufficient condition is established for an asymptotically stable renewal process to satisfy the strong renewal theorem. This result is valid for all alpha in (0, 1), thus completing a result for alpha in (1/2, 1) which was proved in the 1963 paper of Garsia and Lamperti [6]. This paper is superseded by arXiv:1612.07635.

研究の動機と目的

• 無限平均を伴う再生過程、特に $\\alpha \in (0,1)$ の場合に強再生定理（SRT）が成り立つための必要十分条件を特定する長年の未解決問題を解決すること。
• GarsiaとLamperti（1963年）が既に確立した $\alpha \in (1/2,1)$ の場合に限るSRT結果を、全範囲 $\alpha \in (0,1)$ に拡張すること。
• ステップ分布の尾部挙動、特に $p(x)$ の減衰速度と $\overline{F}(x)$ との相互作用を踏まえたSRTの明確な特徴付けを提供すること。
• 一般化された再生関数および漸近的安定な部分的順序統計量（subordinators）へのSRTの一般化を行い、関連する確率過程全体にわたるこの手法の頑健性を示すこと。

提案手法

• 安定分布の領域に属するランダムウォーク（$\alpha \in (0,1) \cup (1,2)$）に対して、Gnedenkoの局所中心極限定理の誤差項を改善する新しい局所大偏差評価（定理1）を導出する。
• 大きなジャンプの寄与を制御するため、$\mu = \frac{\log \Lambda}{\gamma x}$ として適切に選ばれた指数的傾き変換（exponential tilting）を用いる。ここで $\Lambda = (n\overline{F}(x))^{-1}$ である。
• 確率 $P(S_n = x)$ を大きなジャンプを含む経路（$X_n^* \leq \gamma x$）と含まない経路（$X_n^* > \gamma x$）に分解し、尾部推定を用いて大きなジャンプ成分を評価する。
• ポターベンチ（Potter’s bounds）を用いて $\overline{F}(a_n \theta)/\overline{F}(a_n)$ をべき乗則の挙動に結びつけ、$P(S_n = x)$ の減衰速度を精密に制御する。
• 導出した条件下で再生質量関数 $g(x) = \sum_{n=0}^\infty P(S_n = x)$ を解析し、$x\overline{F}(x)g(x) \to g(\alpha, \rho)$ が成り立つことからSRTを確立する。
• 非格子部分的順序統計量（non-lattice subordinators）に対しても、局所中心極限定理および尾部解析をLévy測度に適応させ、再生測度 $G_{\Delta}(x)$ に対して類似のSRT結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定分布の領域に属する再生過程（$\alpha \in (0,1)$）で無限平均を伴う場合に、強再生定理（SRT）が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ2 追加のモーメント条件や正則変動仮定なしに、重尾分布に対してGnedenkoの局所中心極限定理の誤差項をどのように改善できるか？
• RQ3 標準的再生過程と同一の尾部条件を満たす場合、一般化された再生関数および部分的順序統計量に対してもSRTは成り立つか？
• RQ4 格子ランダムウォークに用いられた手法を、無限平均領域に属する一般の非周期的ランダムウォークに適応してSRTを証明できるか？
• RQ5 尾部比 $p(x)/\overline{F}(x)$ および $\overline{F}(w)^{-2}$ を含む二重和が、SRTの有効性を決定づける際に果たす正確な役割は何か？

主な発見

• $\alpha \in (1/2,1)$ の場合、SRTは条件なしに成り立つ。これはGarsiaとLamperti（1963年）の結果を確認するものであるが、$\alpha \in (0,1/2]$ の場合には追加の尾部条件が必要となる。
• SRTが成り立つのは、$\lim_{x\to\infty}x\overline{F}(x)p(x) = 0$ および $\lim_{\delta\to 0}\limsup_{x\to\infty}x\overline{F}(x)\sum_{1}^{\delta x}\frac{p(x-w)}{w\overline{F}(w)^2} = 0$ が成り立つ場合に限る。これらは $\alpha \in (0,1/2]$ の場合に必要十分条件である。
• SRTにおける漸近定数は、$g(\alpha,\rho) = \alpha E(Y^{-\alpha}: Y > 0)$ で与えられる。ここで $Y$ は指数 $\alpha$、正の性パラメータ $\rho$ を持つ安定確率変数である。
• $\alpha = 1/2$ の場合、$\overline{F}(x) \sim (cx)^{-1/2}$ かつ $\lim_{x\to\infty}L(x) > 0$ ならば、追加条件なしにSRTが成り立つが、$L(x) \to 0$ ならば失敗する。これは鋭い境界を示している。
• 重み $b(A(x)) = B(x)$ を持つ一般化された再生関数 $g_b(x)$ に対しても、SRTは $\alpha(2+\beta) > 1$ または $\alpha(2+\beta) \leq 1$ かつ二つの尾部条件（29）および（30）が満たされる場合に成り立つ。
• 漸近的安定な部分的順序統計量に対しても、同様の尾部条件、すなわち $\lim_{x\to\infty}x\overline{\Pi}(x)\Pi((x,x+\Delta]) = 0$ および $\lim_{\delta\to 0}\limsup_{x\to\infty}x\overline{\Pi}(x)\int_1^{\delta x}\frac{\Pi(x-dw)}{w\overline{\Pi}(w)^2} = 0$ を満たす場合にSRTが成り立つ。$\alpha \in (0,1/2]$ の場合であり、$\alpha > 1/2$ の場合の漸近定数は $\Delta g(\alpha,\rho)$ である。