[論文レビュー] The strong topology of $\omega$-plurisubharmonic functions

Antonio Trusiani|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、全順序族のモデル型エンvelope に関する所定の特異性をもつ ω-擬上膜関数の空間と、それに対応する相対エネルギーが有限である非擬上膜測度の空間との間で、強い位相のもとで強い位相同相写像を確立する。Monge-Ampère作用素が、相対エネルギー関数の連続性を保証する弱位相の細分である強い位相のもとで同相写像であることを証明する。主な結果は、p > 1 に対して L^p 密度が一様に有界で、特異性が全順序である場合に、複素 Monge-Ampère 方程式の解の強い安定性が保証されることである。

ABSTRACT

On $(X,\omega)$ compact K\"ahler manifold, given a model type envelope $\psi\in PSH(X,\omega)$ (i.e. a singularity type) we prove that the Monge-Amp\`ere operator is an homeomorphism between the set of $\psi$-relative finite energy potentials and the set of $\psi$-relative energy measures endowed with their strong topologies given as the coarsest refinements of the weak topologies such that the relative energies become continuous. Moreover, given a totally ordered family $\mathcal{A}$ of model type envelopes with positive total mass representing different singularities types, the sets $X_{\mathcal{A}}, Y_{\mathcal{A}}$ given respectively as the union of all $\psi$-relative finite energy potentials and of all $\psi$-relative finite energy measures varying $\psi\in\overline{\mathcal{A}}$ have two natural strong topologies which extends the strong topologies on each component of the unions. We show that the Monge-Amp\`ere operator produces an homeomorphism between $X_{\mathcal{A}}$ and $Y_{\mathcal{A}}$. As an application we also prove the strong stability of a sequence of solutions of prescribed complex Monge-Amp\`ere equations when the measures have uniformly $L^{p}$-bounded densities for $p>1$ and the prescribed singularities are totally ordered.

研究の動機と目的

• 所定の特異性をもつ ω-擬上膜関数と測度の空間の間で、Monge-Ampère作用素を同相写像として拡張すること。
• 全順序族のモデル型エンvelope によってインデックスづけられた空間の和集合に、強い位相を定義し、それらを研究すること。
• L^p 密度が一様に有界で、特異性が全順序である条件下で、複素 Monge-Ampère 方程式の解の強い安定性を確立すること。
• 有限エネルギーポテンシャルと測度の間の既知の同相写像を、より広範で全順序な特異性族へ一般化すること。

提案手法

• ψ-相対有限エネルギーポテンシャルの空間に、ψ-相対エネルギー関数が連続となるような弱位相の最も粗い細分として、強い位相を導入する。
• 双対エネルギー関数 E∗_ψ の連続性を保証するように、ψ-相対有限エネルギー測度の空間に対応する強い位相を定義する。
• 全順序族 A ⊂ M+ における E1(X, ω, ψ) の和集合 XA に、各成分ごとに d が拡張される完全な距離 dA を構成する。
• Finsler 距離 |f|1,ϕ = ∫_X |f|MAω(ϕ) と関連する距離 d(u,v) = E(u)+E(v)−2E(Pω(u,v)) を用いて、距離位相を定義する。
• 相対エネルギー理論と相対 Monge-Ampère 作用素を用いて、これらの位相のもとで MAω の連続性と全単射性を証明する。
• コンパクト性、弱収束、容量収束の議論を用いて、L^p 有界密度のもとでの安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Monge-Ampère 作用素は、個々のモデル型エンvelope を超えて、より大きな ω-擬上膜関数と測度の空間の間で同相写像として拡張可能か？
• RQ2 全順序族の特異性によってインデックスづけられたポテンシャルと測度の空間の和集合に、自然な強い位相は存在するか？
• RQ3 和集合上の強い位相は、各成分空間の個別的な強い位相とどのように関係するか？
• RQ4 所定の特異性をもつ複素 Monge-Ampère 方程式の解列が、強い収束するための条件は何か？
• RQ5 L^p 積分可能で一様に有界な密度と全順序な特異性をもつ場合に、解に対して強い安定性が成立するか？

主な発見

• Monge-Ampère 作用素 MAω は、(X_A, norm, d_A) と (Y_A, strong) の間の同相写像である。ここで X_A は全順序族 A ⊂ M+ における ψ-相対有限エネルギーポテンシャルの和集合であり、Y_A は同様に ψ-相対有限エネルギー測度の和集合である。
• XA 上の強い位相は、ψ-相対エネルギー関数 E_ψ が連続となるような弱位相の最も粗い細分であり、dA が誘導する距離位相と一致する。
• YA 上の強い位相は、双対エネルギー関数 E∗_ψ が連続となるような弱位相の最も粗い細分である。
• fk が L^p (p > 1) で一様に有界で、ψk → ψ が A 内で収束するとき、MAω(uk) = fkω^n を満たす解列 (uk) は、MAω(u) = fω^n を満たす u ∈ X_A に強く収束する。
• 収束の容量収束性は、定理 6.3 を用いて示された。
• この結果は、既知の L^p 有界性のもとでの強い安定性を一般化し、特異性の全順序族への同相写像の拡張を実現し、複素 Monge-Ampère 方程式の安定性理論における重要な問いに答えを提示する。