[論文レビュー] The structure of gauge-invariant ideals of labelled graph $C^*$-algebras

Ja A Jeong, Sun Ho Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathcal{B}$ が相対的補集合について閉じているという条件下で、許容的集合の遺伝的飽和部分集合とラベル付きグラフ C*-代数 $C^*(E,\mathcal{L},\mathcal{B})$ のゲージ不変イデアルとの間に一対一対応を確立する。商ラベル付き空間を導入し、ゲージ不変一意性定理を証明することで、$C^*(E,\mathcal{L},\overline{\mathcal{E}})$ の単純性の特徴づけが得られる：各一般化頂点 $[v]_l$ がいくつかの $l$ に対して有限である限り、$C^*(E,\mathcal{L},\overline{\mathcal{E}})$ は単純であるための必要十分条件として、ラベル付き空間が強く共終的かつ不一致的であることである。これは、グラフおよび超グラフ C*-代数に対する既知の結果をより一般的なラベル付きグラフ設定に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the gauge-invariant ideal structure of a $C^*$-algebra $C^*(E,\mathcal{L},\mathcal{B})$ associated to a set-finite, receiver set-finite and weakly left-resolving labelled space $(E,\mathcal{L},\mathcal{B})$, where $\mathcal{L}$ is a labelling map assigning an alphabet to each edge of the directed graph $E$ with no sinks. Under the assumption that an accommodating set $\mathcal{B}$ is closed under taking relative complement, it is obtained that there is a one to one correspondence between the set of all hereditary saturated subsets of $\mathcal{B}$ and the gauge-invariant ideals of $C^*(E,\mathcal{L},\mathcal{B})$. For this, we introduce a quotient labelled space $(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_R)$ arising from an equivalence relation $\sim_R$ on $\mathcal{B}$ and show the existence of the $C^*$-algebra $C^*(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_R)$ generated by a universal representation of $(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_R)$. Also the gauge-invariant uniqueness theorem for $C^*(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_R)$ is obtained. For simple labelled graph $C^*$-algebras $C^*(E,\mathcal{L},\bar{\mathcal{E}})$, where $\bar{\mathcal{E}}$ is the smallest accommodating set containing all the generalized vertices, it is observed that if for each vertex $v$ of $E$, a generalized vertex $[v]_l$ is finite for some $l$, then $C^*(E,\mathcal{L},\bar{\mathcal{E}})$ is simple if and only if $(E,\mathcal{L},\bar{\mathcal{E}})$ is strongly cofinal and disagreeable. This is done by examining the merged labelled graph $(F,\mathcal{L}_F)$ of $(E,\mathcal{L})$ and the common properties that $C^*(E,\mathcal{L},\bar{\mathcal{E}})$ and $C^*(F,\mathcal{L},\bar{\mathcal{F}})$ share.

研究の動機と目的

• 集合有限、受信者集合有限、弱く左分解可能であるラベル付き空間 $E,\mathcal{L},\mathcal{B}$ に対して、$\mathcal{B}$ が相対的補集合について閉じている場合の $C^*(E,\mathcal{L},\mathcal{B})$ のゲージ不変イデアルの構造を特定すること。
• $\mathcal{B}$ の遺伝的飽和部分集合と $C^*(E,\mathcal{L},\mathcal{B})$ のゲージ不変イデアルとの間に一対一対応を確立すること。
• 商ラベル付き空間 $(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_{\textsc{R}})$ を導入し、関連する $C^*$-代数の存在とゲージ不変一意性定理の証明を行うこと。
• $\overline{\mathcal{E}}$ をすべての一般化頂点を含み、相対的補集合について閉じた最小の許容的集合とするとき、$C^*(E,\mathcal{L},\overline{\mathcal{E}})$ の単純性を特徴づけること。
• 各一般化頂点 $[v]_l$ がいくつかの $l$ に対して有限であるという条件下で、$C^*(E,\mathcal{L},\overline{\mathcal{E}})$ の単純性が、ラベル付き空間が強く共終的かつ不一致的であることと同倹であることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、許容的集合 $\mathcal{B}$ 上に同値関係 $\sim_{\textsc{R}}$ を導入し、これにより商ラベル付き空間 $(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_{\textsc{R}})$ を得る。
• 商ラベル付き空間の普遍的表現を用いて、$C^*$-代数 $C^*(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_{\textsc{R}})$ を構成する。
• この代数に対して、ゲージ不変一意性定理を確立し、生成射影に非退化である $*$-準同型が単射であることを保証する。
• $(E,\mathcal{L})$ のマージドラベル付き空間 $(F,\mathcal{L}_F)$ を定義・分析し、強共終性や不一致性といった重要な構造的性質を保持することを示す。
• ラベル付きパスの間の対応関係と同値類における範囲の振る舞いを用いて、強共終性および不一致性がマージングによって保存されることを証明する。
• 一般化頂点 $[v]_l$ の特に有限性という性質に依拠し、$C^*(E,\mathcal{L},\overline{\mathcal{E}})$ の構造がマージド系の構造と関連することを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{B}$ が相対的補集合について閉じているとき、$\mathcal{B}$ の遺伝的飽和部分集合と $C^*(E,\mathcal{L},\mathcal{B})$ のゲージ不変イデアルとの間に一対一対応が存在するか？
• RQ2 商ラベル付き空間 $(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_{\textsc{R}})$ は、$C^*(E,\mathcal{L},\mathcal{B})$ のイデアル構造とどのように関係するか？
• RQ3 ラベル付き空間 $(E,\mathcal{L},\overline{\mathcal{E}})$ が $C^*(E,\mathcal{L},\overline{\mathcal{E}})$ を単純にするために満たすべき条件は何か？
• RQ4 ラベル付きグラフがそのマージド版にマージされるとき、強共終性および不一致性はどのように保存されるか？
• RQ5 各一般化頂点 $[v]_l$ がいくつかの $l$ に対して有限であるという条件下で、$C^*(E,\mathcal{L},\overline{\mathcal{E}})$ が単純であるための条件は何か？

主な発見

• $\mathcal{B}$ が相対的補集合について閉じているとき、$\mathcal{B}$ のすべての遺伝的飽和部分集合の集合と $C^*(E,\mathcal{L},\mathcal{B})$ のゲージ不変イデアルとの間に一対一対応が存在する。
• 商ラベル付き空間 $(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_{\textsc{R}})$ は普遍的 $C^*$-代数 $C^*(E,\mathcal{L},[\mathcal{B}]_{\textsc{R}})$ を持ち、この代数に対してゲージ不変一意性定理が成り立つ。
• $(E,\mathcal{L})$ のマージドラベル付き空間 $(F,\mathcal{L}_F)$ は強共終性を保存する：$(E,\mathcal{L},{\overline{\mathcal{E}}})$ が強く共終的であることと、$(F,\mathcal{L}_F,{\overline{\mathcal{F}}})$ が強く共終的であることは同値である。
• マージドラベル付き空間は不一致性も保存する：$(E,\mathcal{L},{\overline{\mathcal{E}}})$ が不一致的であることと、$(F,\mathcal{L}_F,{\overline{\mathcal{F}}})$ が不一致的であることは同値である。
• 集合有限、受信者集合有限、弱く左分解可能なラベル付き空間 $(E,\mathcal{L},{\overline{\mathcal{E}}})$ に対して、$C^*(E,\mathcal{L},{\overline{\mathcal{E}}})$ が単純であることと、$(E,\mathcal{L},{\overline{\mathcal{E}}})$ が強く共終的かつ不一致的であることとは同値であり、各一般化頂点 $[v]_l$ がいくつかの $l$ に対して有限である限り成り立つ。