[論文レビュー] The Student ensemble of correlation matrices: eigenvalue spectrum and Kullback-Leibler entropy

Giulio Biroli, Jean‐Philippe Bouchaud+1 more|ArXiv.org|Oct 3, 2007

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、重い尾を持つ（スチューデントのt分布に従う）リターンをよりよくモデル化するための、相関行列のStudentアンサンブルを導入し、Marčenko-Pasturの法則を一般化した正確な固有値状態密度を導出する。理論的スペクトルがガウスベースのMarčenko-Pastur分布よりも実際の金融データに適合することが示され、また、真の相関行列に依存しない正確なカルバック・ライブラー・エントロピーを実際のStudent行列に対して計算し、さまざまな自由度とサンプル対変数比に対して数値的に評価する。

ABSTRACT

We study a new ensemble of random correlation matrices related to multivariate Student (or more generally elliptic) random variables. We establish the exact density of states of empirical correlation matrices that generalizes the Marcenko-Pastur result. The comparison between the theoretical density of states in the Student case and empirical financial data is surprisingly good, even if we are still able to detect systematic deviations. Finally, we compute explicitely the Kullback-Leibler entropies of empirical Student matrices, which are found to be independent of the true correlation matrix, as in the Gaussian case. We provide numerically exact values for these Kullback-Leibler entropies.

研究の動機と目的

• ガウス仮定よりも重い尾を持つ金融リターンをよりよくモデル化できる多変量スチューデント分布変数のための確率的行列アンサンブルを開発すること。
• Studentアンサンブル下での実証的相関行列の正確な固有値密度状態を導出し、Marčenko-Pasturの法則を楕円的（Student的）な場合に一般化すること。
• Studentアンサンブルの理論的固有値スペクトルを実際の金融データと比較し、その記述的パワーを評価すること。
• 実証的Student相関行列の正確なカルバック・ライブラー・エントロピーを計算し、真の相関行列に依存しないことを示すこと。
• 統計的推論に使用可能な、自由度μおよびサンプル対変数比Qのさまざまなパラメータ下での、正確な数値的Kullback-Leiblerエントロピー値を提供すること。

提案手法

• 自由度μとサンプル対変数比Qが有限で、NとTが大きい極限でのスペクトル密度を解くことで、スケール要因σtがべき則分布から抽出されるWishart型構成を用いて、Studentアンサンブル下での実証的相関行列の正確な状態密度を導出する。
• 大Nおよび大Tの極限において、有限のQ = T/Nを用いて、楕円的（Student的）な場合へのMarčenko-Pastur法則の一般化を実行する。
• 行列アンサンブルの回転対称性を用いて、確率的行列の積のトレースを計算し、カルバック・ライブラー発散の正確な計算を可能にする。
• レプリカ法と確率的行列理論を用いて、実証的相関行列と真の相関行列間の平均対数尤度比を計算する。
• 導出されたスペクトル密度を用いてカルバック・ライブラー・エントロピーを数値的に評価し、さまざまなμ（自由度）とQ（サンプル対変数比）に対して正確な値を提供する。
• 理論的固有値スペクトルと実際の金融データを比較することでモデルを妥当性検証し、ガウスの場合よりも優れた適合性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量スチューデント分布に従うリターンから得られる実証的相関行列の固有値スペクトルは、Marčenko-Pasturの法則を一般化するか？
• RQ2 Studentアンサンブルの理論的固有値密度は、ガウスベースのMarčenko-Pastur分布と比較して、実際の金融データにどの程度適合するか？
• RQ3 実証的Student相関行列のカルバック・ライブラー・エントロピーは、真の相関行列に依存しないのか、ガウスの場合と同様か？
• RQ4 自由度μとサンプル対変数比Qのさまざまな条件下で、Studentアンサンブルの正確な数値的Kullback-Leiblerエントロピーを計算できるか？
• RQ5 Studentモデルにおける理論的スペクトルからの系統的ずれは、非楕円的モデルの必要性、あるいは金融リターンに存在する低ランク情報成分の存在を示唆するか？

主な発見

• Studentアンサンブルの正確な固有値状態密度は、Marčenko-Pasturの法則を一般化しており、ガウスベースのモデルよりも実際の金融データに著しく良好に適合する。
• 最尤推定（MLE）において、母分布がStudentであっても、固有値密度は正確にMarčenko-Pasturのまま保たれる。
• 実証的Student行列のカルバック・ライブラー・エントロピーは、真の相関行列に依存せず、ガウスの場合と整合的である。
• 自由度μ（3, 4, 5）およびQ（1.5, 2, 3, 5）のさまざまな条件下で、カルバック・ライブラー・エントロピーの数値的値が計算され、表形式で提示されている。Z/Nは0.105から0.645の範囲、Z'/Nは0.194から0.991の範囲を示す。
• 改善された適合性にもかかわらず、Studentモデルにおける理論的スペクトルからの系統的ずれは依然として検出可能であり、楕円的モデルの限界を示唆し、金融リターンに非楕円的構造または情報持つ低ランク成分が存在する可能性を示唆する。
• 結果は、Studentの場合の相関行列の最尤推定が、エントロピーの観点から、ガウス・ウィシャール推定と漸近的に同等であることを確認しており、最近の数値的結果とも整合的である。