[論文レビュー] The su(n) WZNW fusion ring as integrable model: a new algorithm to compute fusion coecien ts

Christian Korff|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、統計力学の可解モデルを用いて、su(n) WZNW フュージョン環における融合係数を計算する新しいアルゴリズムを提示する。頂点模型の転送行列をYang-Baxter方程式の解に関連づけ、非可換局所アフィンプレアック代数を用いて表現することで、終端自己準同型が融合行列を生じるシュール型多項式が得られ、ベーテベクトルがフュージョン代数における冪等元をなす固有基底を提供する。

ABSTRACT

This is a proceedings article reviewing a recent combinatorial construction of the b su(n)k WZNW fusion ring by C. Stroppel and the author. It contains one novel aspect: the explicit derivation of an algorithm for the computation of fusion coecien ts dieren t from the KacWalton formula. The discussion is presented from the point of view of a vertex model in statistical mechanics whose partition function generates the fusion coecien ts. The statistical model can be shown to be integrable by linking its transfer matrix to a particular solution of the Yang-Baxter equation. This transfer matrix can be identied with the generating function of an (innite) set of polynomials in a noncommutative alphabet: the generators of the local ane plactic algebra. The latter is a generalisation of the plactic algebra occurring in the context of the Robinson-Schensted correspondence. One can dene analogues of Schur polynomials in this noncommutative alphabet which become identical to the fusion matrices when represented as endomorphisms over the state space of the integrable model. Crucial is the construction of an eigenbasis, the Bethe vectors, which are the idempotents of the fusion algebra.

研究の動機と目的

• Kac-Walton 公式に依存しない、su(n) WZNW フュージョン環における融合係数を計算する代替手法の開発。
• Yang-Baxter 方程式を通じて、フュージョン環と可解統計模型との間の関係の確立。
• 局所アフィンプレアック代数から導かれる非可換アルファベットにおける多項式を用いた、融合係数の生成関数の構成。
• 非可換設定におけるシュール型多項式を同定し、それらが終端自己準同型としての融合行列を表すことを示す。
• フュージョン代数における冪等元をなす固有基底（ベーテベクトル）の定義。

提案手法

• 頂点模型の転送行列がYang-Baxter方程式の解に関連づけられ、可解性が確立される。
• 転送行列が非可換アルファベットにおける無限個の多項式の生成関数として表現される。
• 非可換アルファベットは、ロビンソン＝シェンステッド対応からの一般化である局所アフィンプレアック代数の生成子に対応する。
• この非可換設定においてシュール型多項式が定義され、可解模型の状態空間への自己準同型へ写像される。
• ベーテベクトルが転送行列の完全な固有基底として構成され、フュージョン代数における冪等元として同定される。
• これらの自己準同型の行列要素をベーテベクトル基底で表現することで、融合係数が抽出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kac-Walton 公式に依存せずに、su(n) WZNW フュージョン環における融合係数をどのように計算できるか？
• RQ2 可解統計模型がフュージョン環構造をどのように実現するか？
• RQ3 局所アフィンプレアック代数における非可換多項式は、どのように融合行列に関係するか？
• RQ4 フュージョン代数における冪等元をなすベーテベクトルの固有基底を構成可能か？
• RQ5 Yang-Baxter 方程式と融合係数の組合せ的構造との間の関係は何か？

主な発見

• 融合係数は、Yang-Baxter 方程式を満たす転送行列によって生成され、モデルの可解性が裏付けられる。
• 転送行列は、局所アフィンプレアック代数からの非可換アルファベットにおける多項式の生成関数として表現される。
• この非可換設定におけるシュール型多項式は、状態空間への自己準同型として実現された際、正確に融合行列に対応する。
• ベーテベクトルは転送行列の完全な固有基底をなし、フュージョン代数における冪等元として同定される。
• 本アルゴリズムは、Kac-Walton 公式とは異なる、組合せ論的で新たな融合係数の計算手法を提供する。
• 本構成により、可解模型、非可換代数、およびアフィンリー代数の表現論との直接的な関係が確立される。