[論文レビュー] The sub-$k$-domination number of a graph with applications to $k$-domination

David Amos, John Asplund+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、グラフの次数列に基づいて導かれる、$k$-ドミネーション数の計算的に効率的な下界である、sub-$k$-ドミネーション数を導入する。この下界が鋭いことを証明し、既存の下界を改善しており、頂点／辺の操作に対する臨界グラフを同定し、sub-$k$-ドミネーション数と$k$-ドミネーション数が等しくなる条件を特定している。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study a new graph invariant derived from the degree sequence of a graph $G$, called the sub-$k$-domination number and denoted $sub_k(G)$. We show that $sub_k(G)$ is a computationally efficient sharp lower bound on the $k$-domination number of $G$, and improves on several known lower bounds. We also characterize the sub-$k$-domination numbers of several families of graphs, provide structural results on sub-$k$-domination, and explore properties of graphs which are $sub_k(G)$-critical with respect to addition and deletion of vertices and edges.

研究の動機と目的

• 次数列に基づいて新しいグラフ不変量であるsub-$k$-ドミネーション数を定義・分析すること。
• この不変量が、$k$-ドミネーション数の計算的に効率的で鋭い下界を提供することを確立すること。
• 既存の下界と比較し、複数の状況でその優位性を示すこと。
• sub-$k$-ドミネーションパラメータに関して、頂点／辺の加算または削除に対する臨界グラフの構造的性質を同定すること。
• sub-$k$-ドミネーション数と$k$-ドミネーション数が等しくなる条件を特定すること。

提案手法

• 次数が非増加順に並べられた$d_i$に対して、$\mathrm{sub}_k(G) = \min\left\{t : t + \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{t} d_i \geq n\right\}$としてsub-$k$-ドミネーション数を定義する。
• $\mathrm{sub}_k(G) \leq \gamma_k(G)$を証明し、$k$-ドミネーション数の有効な下界であることを示す。
• 次数列解析と極値グラフ理論を用いて、頂点および辺の操作における$\mathrm{sub}_k(G)$-臨界グラフの構造的性質を導出する。
• 完全グラフ、星形、パスなどの特定のグラフ族に対して、閉形式の式を用いて$\mathrm{sub}_k(G)$を同定する。
• 辺の加算・削除および頂点の削除における$\mathrm{sub}_k(G)$の振る舞いを分析し、単調性および臨界性条件を確立する。
• $\mathrm{sub}_k(G) = \gamma_k(G)$が成り立つグラフを同定することで、$\mathrm{sub}_k(G)$が鋭いことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ族に対して$\mathrm{sub}_k(G)$が$\gamma_k(G)$に等しくなるか。
• RQ2 sub-$k$-ドミネーション数は、既知の$k$-ドミネーション数の下界と比べてどのように異なるか。
• RQ3 辺または頂点の操作に関して$\mathrm{sub}_k(G)$-臨界となるグラフの構造的性質は何か。
• RQ4 辺の加算または削除によってsub-$k$-ドミネーション数が変化せず、または正確に1だけ変化する条件は何か。
• RQ5 sub-$k$-ドミネーション数を用いて、$\gamma_k(G)$のよりタイトな下界や計算アルゴリズムを導出できるか。

主な発見

• sub-$k$-ドミネーション数は$k$-ドミネーション数の鋭い下界であり、完全グラフや特定の木などの一部のグラフ族では等号が成立する。
• 次数列に基づく構成のおかげで、残留数や吸収数から導かれる既存の下界よりも、sub-$k$-ドミネーション数はタイトである。
• $\mathrm{sub}_k(G)$-ED-臨界グラフでは、辺の削除によりsub-$k$-ドミネーション数が正確に1増加し、このようなグラフには孤立頂点がなく、特定の次数制約を満たす。
• $\mathrm{sub}_k(G)$-EA-臨界グラフでは、辺の加算によりsub-$k$-ドミネーション数が正確に1減少し、$d_t$未満の次数を持つ頂点はクリークを形成する。
• $\mathrm{sub}_k(G)$-VD-臨界グラフでは、最初の$t$個の頂点に属さない各頂点は、最初の$t$個の頂点のうち少なくとも$k+1$個の頂点に隣接している必要があり、これにより下界の頂点削除に対する感受性が保証される。
• sub-$k$-ドミネーション数は、次数列のみを用いるため、計算が非常に効率的であり、大規模なグラフ解析に適している。