[論文レビュー] The sum of a maximal monotone operator of type (FPV) and a maximal monotone operator with full domain is maximal monotone

Liangjin Yao|arXiv (Cornell University)|May 13, 2010

Optimization and Variational Analysis参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間において、1つの作用素が(FPV)型であり、もう1つの作用素が全定義域を持つという緩い条件下で、2つの最大単調作用素の和の最大単調性を確立する。フィッツパトリック関数と制約条件を用いて、$ \operatorname{dom}A \cap \operatorname{int}\operatorname{dom}B \neq \varnothing $、$ A + N_{\overline{\operatorname{dom}B}} $ が(FPV)型であり、$ \operatorname{dom}A \cap \overline{\operatorname{dom}B} \subseteq \operatorname{dom}B $ であるとき、$ A + B $ が最大単調であることを証明する。

ABSTRACT

The most important open problem in Monotone Operator Theory concerns the maximal monotonicity of the sum of two maximal monotone operators provided that Rockafellar's constraint qualification holds. In this paper, we prove the maximal monotonicity of $A+B$ provided that $A$ and $B$ are maximal monotone operators such that $\dom A\cap\inte\dom B eq\varnothing$, $A+N_{\overline{\dom B}}$ is of type (FPV), and $\dom A\cap\overline{\dom B}\subseteq\dom B$. The proof utilizes the Fitzpatrick function in an essential way.

研究の動機と目的

• 非反射的バナッハ空間における2つの最大単調作用素の和の最大単調性に関する、単調作用素論における未解決問題に取り組む。
• 標準的なロッカフェラーの制約条件を弱めることで、反射的空間を超えた和定理の拡張を図る。
• 部分微分、法線作用素、線形関係を含む和に関する既存の結果を統合・一般化する一般的な枠組みを提供する。
• $ A $ が部分微分作用素や法線作用素でなくても、$ A + B $ が最大単調のままである条件を確立する。
• 非反射性の下でも、最大単調性の性質を解析するための中心的ツールとしてフィッツパトリック関数を用いる。

提案手法

• 最大単調性を特徴づけるためにフィッツパトリック関数を用い、和作用素における単調性関係を分析する。
• 摂動議論のための内点の存在を保証するため、制約条件 $ \operatorname{dom}A \cap \operatorname{int}\operatorname{dom}B \neq \varnothing $ を用いる。
• (FPV)型作用素の概念を適用し、$ A $ が $ B $ の定義域付近でどのように振る舞うかを制御する。
• 定義域の相互作用が不連続性を引き起こさないよう保証するため、条件 $ \operatorname{dom}A \cap \overline{\operatorname{dom}B} \subseteq \operatorname{dom}B $ を用いる。
• $ A + N_{\overline{\operatorname{dom}B}} $ が(FPV)型であるという事実を活用し、$ A + B $ における単調性の保存を拡張する。
• 部分微分作用素や法線作用素に関する既知の結果を特別な場合として含めることで、一般枠組みの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非反射的バナッハ空間において、2つの最大単調作用素の和 $ A + B $ が最大単調となる条件は何か？
• RQ2 1つが(FPV)型で、もう1つが全定義域を持つ作用素に対して、和定理を拡張できるか？
• RQ3 条件 $ \operatorname{dom}A \cap \overline{\operatorname{dom}B} \subseteq \operatorname{dom}B $ が、和における最大単調性の保存を保証するか？
• RQ4 非反射性の下でも、フィッツパトリック関数を効果的に用いて和の最大単調性を証明できるか？
• RQ5 部分微分作用素、法線作用素、線形関係に関する既知の結果は、この一般化された枠組みにどのように統合されるか？

主な発見

• $ A $ が(FPV)型の最大単調作用素であり、$ B $ が全定義域の最大単調作用素であり、$ \operatorname{dom}A \cap \operatorname{int}\operatorname{dom}B \neq \varnothing $ であるならば、和 $ A + B $ は最大単調である。
• $ A + N_{\overline{\operatorname{dom}B}} $ が(FPV)型であるという条件は、$ A $ と $ \overline{\operatorname{dom}B} $ の閉包との相互作用が単調性を保存することを保証する。
• この結果は、ヴェロナとヴェロナの部分微分作用素と全定義域作用素に関する定理、およびボイセイの(FPV)型作用素と法線作用素に関する結果を一般化する。
• 線形関係 $ A $ と全定義域の最大単調作用素 $ B $ に対しても和定理が成り立ち、ハイスラーの結果を拡張する。
• $ L^1[0,1] $ における例は、$ A $ が最大単調な線形関係であり、$ J $ が双対写像であるとき、$ A + J $ が最大単調であることを示しており、これは従来の定理からは導けない結果である。
• この枠組みは、定義域が閉でない可能性のある、適切で下方連続かつ凸な関数の部分微分を含む場合を一般化する。