[論文レビュー] The supersingular locus of the Shimura variety for GU(1,n-1) over a ramified prime

Michael Rapoport, Ulrich Terstiege+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、GU(1,n−1)のシムーラ多様体の分岐素数における特異的局所の明確な幾何的記述を提供し、その既約成分がブリュアトゥツ・ビルディングの商によってパラメトライズされること、およびその局所がシミプレクティック群のデリーニュ＝ルシュティグ多様体によって層化されることを確立する。主な結果は、層化のインシデント複体が、離散群作用の下でのブリュアトゥツ木の商と同型であることを特定する。

ABSTRACT

We analyze the geometry of the supersingular locus of the reduction modulo p of a Shimura variety associated to a unitary similitude group GU(1,n-1) over Q, in the case that p is ramified. We define a stratification of this locus and show that its incidence complex is closely related to a certain Bruhat-Tits simplicial complex. Each stratum is isomorphic to a Deligne-Lusztig variety associated to some symplectic group over F_p and some Coxeter element. The closure of each stratum is a normal projective variety with at most isolated singularities. The results are analogous to those of Vollaard/Wedhorn in the case when p is inert.

研究の動機と目的

• GU(1,n−1)のシムーラ多様体の分岐素数における還元における特異的局所の構造を記述すること。
• 非分岐素数の場合の基本的局所に関する先行研究を、分岐の場合に拡張すること。
• シミプレクティック群に関連するデリーニュ＝ルシュティグ多様体によって特異的局所が層化されることを確立すること。
• 層化のインシデント複体を、離散群作用の下でのブリュアトゥツ・ビルディングの商と特定すること。
• 群論的および幾何的手段を用いて、特異的局所の既約成分および連結成分の集合を特定すること。

提案手法

• 著者たちは、GU(1,n−1)に関連するRZ空間の局所モデルを用い、特に $\bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}}$ である還元特殊ファイバーに注目する。
• 分岐二次拡大 $E$ 上のヘルミート空間における頂点格子を定義し、$\Lambda / \Lambda^\sharp$ の商のサイズを測るタイプ $t$ を導入する。
• 層化は、群 $J = \mathrm{SU}(C)$ のブリュアトゥツ・ビルディングを用いて構成され、最大タイプの頂点格子によってインデックスが付与される。
• グローバルな特異的局所 $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ は、$I^V(\mathbb{Q}) \backslash (\bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}} \times G^V(\mathbb{A}_f^p)^o / K^p)$ として商として実現される。ここで $I^V(\mathbb{Q})$ は構造を保存する準等長写像の群である。
• 層化が、$\mathbb{F}_p$ 上のシミプレクティック群 $\mathrm{Sp}_{2t}$ のデリーニュ＝ルシュティグ多様体の和集合に同型であり、タイプ $t$ が $0$ から $t_{\rm{max}}$ まで変化することを示す。
• 層化のインシデント複体は、$\mathcal{T}$ を $J = \mathrm{SU}(C)$ のブリュアトゥツ木とし、$\Gamma_j$ を離散的かつコンパクトな部分群とするとき、$\coprod_{j=1}^m \Gamma_j \backslash \mathcal{T}$ と同型であると特定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GU(1,n−1)のシムーラ多様体の分岐素数における特異的局所はどのように構造化されているか？
• RQ2 頂点格子とそのタイプは、特異的局所の層化のインデックスをどのように果たすか？
• RQ3 シミプレクティック群のデリーニュ＝ルシュティグ多様体は、特異的局所の層化においてどのように現れるか？
• RQ4 層化のインシデント複体とは何か？ そしてブリュアトゥツ・ビルディングとどのように関係しているか？
• RQ5 特異的局所の既約成分および連結成分はどのようにパラメトライズされるか？

主な発見

• 特異的局所 $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ は、頂点格子の最大タイプ $t_{\rm{max}}$ に対して、純粋次元 $t_{\rm{max}}/2$ を持つ。
• 特異的局所は、$t$ が $0$ から $t_{\rm{max}}$ まで変化する $\mathrm{Sp}_{2t}$ の $\mathbb{F}_p$ 上のデリーニュ＝ルシュティグ多様体によって層化される。
• 層化のインシデント複体は、$\mathcal{T}$ を $J = \mathrm{SU}(C)$ のブリュアトゥツ木とすると、$\coprod_{j=1}^m \Gamma_j \backslash \mathcal{T}$ と同型である。
• $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ の既約成分と集合 $I^V(\mathbb{Q}) \setminus (J(\mathbb{Q}_p)^o / K_{J,p} \times G^V(\mathbb{A}_f^p)^o / K^p)$ の間には自然な全単射が存在する。
• $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ の連結成分と集合 $I^V(\mathbb{Q}) \setminus G^V(\mathbb{A}_f^p)^o / K^p$ の間には自然な全単射が存在する。
• 写像 $\Psi: \coprod_{j=1}^m \bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}} \to \mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ は局所同型であり、準コンパクト部分スキーム上で有限であるため、層化が適切に振る舞うことが保証される。