[論文レビュー] An alternative description of the Drinfeld p-adic half-plane

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次体拡張 $E/F$ の整数環に作用する $O_E$-加群の極性付きのモジュライ問題を用いて、Drinfeld の $p$-進半平面の代替的モジュライ的記述を確立する。これは、$F$ 上の2次元の分解ヘルミート空間 $C$ に対して $\mathrm{SL}_2(F) \cong \mathrm{SU}(C)(F)$ である偶然の同型を用いる。主な結果は、$p \neq 2$ のとき、この新しいモジュライ問題とDrinfeldの元来の問題との間の同型写像が成り立つことである。

ABSTRACT

We show that the Deligne formal model of the Drinfeld p-adic halfplane relative to a non-archimedean local field F represents a moduli problem of polarized O_F-modules with an action of the ring of integers O_E in a quadratic extension E of F. The proof proceeds by establishing a comparison isomorphism with the Drinfeld moduli problem. This isomorphism reflects the accidental isomorphism of SL_2(F) and SU(C)(F) for a two-dimensional split hermitian space C for E/F.

研究の動機と目的

• $p$-進体 $F$ 上のDrinfeld $p$-進半平面のDeligneの形式的モデルの新しいモジュライ的解釈を提供すること。
• この形式的モデルが、Kottwitz条件を満たす $O_E$-加群の極性付きモジュライをパラメトライズすることを示すこと。
• この新しいモジュライ問題と、クaternion的作用をもつ形式的 $O_F$-加群のDrinfeldの元来のモジュライ問題との間の同型を確立すること。
• Bruhat-Titsの木と局所モデルを用いて、形式的モデルの特異ファイバーの幾何的・算術的構造を明確にすること。
• 特に、分岐および非分岐の場合に、極性型とフレーミング対象がこのようなモジュライ空間の分類に果たす役割を調査すること。

提案手法

• $\mathrm{Nilp}_{\breve{O}_F}$ 上の新しいモジュライ函手 $\mathcal{N}_E$ を定義し、四元組 $(X, \iota, \lambda, \varrho)$ をパラメトライズする。ここで $X$ は次元2、$F$-高さ4の形式的 $O_F$-加群であり、$\iota$ はKottwitz条件 $\mathrm{char}_{\mathcal{O}_S}(T, \iota(\alpha)|\mathrm{Lie}\,X) = (T - \alpha)(T - \bar{\alpha})$ を満たす $O_E$-作用である。
• $E/F$ の分岐性に応じて、主極性または高さ1の極性 $\lambda$ を付与し、固定された基底対象 $({\mathbb{X}}, \iota, \lambda_{\mathbb{X}})$ へのフレーミング $\varrho$ を用いる。
• 2次元の分解ヘルミート空間 $C$ over $E/F$ に対して $\mathrm{SL}_2(F) \cong \mathrm{SU}(C)(F)$ である偶然の同型を用いて、$\mathcal{N}_E$ とDrinfeldのモジュライ空間 $\mathcal{M}$ 間の比較同型を構成する。
• 局所モデル理論およびクリスタリン・デュドネー理論を用いて特異ファイバーを解析し、モジュライ空間 $\mathcal{N}_E$ が $\breve{O}_F$ 上のDrinfeld半平面に同型であることを示す。
• 特異ファイバーを、$F^2$ 内の $O_F$-格子の合同類によってインデックスづけられた射影直線の和集合として記述し、その交差構造が Bruhat-Tits の木 $\mathcal{B}(\mathrm{PGL}_2, F)$ と一致することを示す。
• $E/F$ の分岐性（非分岐対比して分岐）および極性の種別に基づいて異なる場合を区別し、モジュライ空間がほとんどの場合に平坦かつ非滑らかであり、半安定還元を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Drinfeld の $p$-進半平面は、2次体拡張 $E/F$ に対するヘルミート構造をもつ $O_E$-加群のモジュライ空間として記述可能か？
• RQ2 分解ヘルミート空間 $C$ に対して $\mathrm{SL}_2(F) \cong \mathrm{SU}(C)(F)$ である偶然の同型は、異なるモジュライ問題の間の同値性をどのように誘導するか？
• RQ3 固定された基底対象 $({\mathbb{X}}, \iota, \lambda_{\mathbb{X}})$ がモジュライ空間 $\mathcal{N}_E$ の定義に果たす役割は何か？その選択はモジュライ空間の幾何にどのように影響するか？
• RQ4 主極性、高さ1、または $X[\Pi]$ のような異なる極性型は、どのように異なるモジュライ空間を生じさせ、それぞれの幾何的性質（滑らかさ、減少部分集合など）は、分岐および非分岐の場合にどうなるか？
• RQ5 モジュライ空間 $\mathcal{N}_E$ の特異ファイバーは、$\mathrm{PGL}_2(F)$ のBruhat-Titsの木と一致する交差構造を持つ射影直線の和集合として記述可能か？

主な発見

• 形式的スキーム $\breve{\Omega}_F$ は、Kottwitz条件を満たす $O_E$-加群の極性付きモジュライをパラメトライズする $\mathcal{N}_E$ に同型である。
• この $\mathcal{N}_E$ とDrinfeldの元来のモジュライ空間 $\mathcal{M}$ 間の同型は、2次元の分解ヘルミート空間 $C$ over $E/F$ に対して $\mathrm{SL}_2(F) \cong \mathrm{SU}(C)(F)$ である偶然の同型によって誘導される。
• 非分岐の場合、モジュライ空間 $\mathcal{N}_E$ は平坦かつ非滑らかであり、特異ファイバーは Bruhat-Tits の木 $\mathcal{B}(\mathrm{PGL}_2, F)$ に同型であり、減少部分集合は1点である。
• 分岐の場合、モジュライ空間 $\mathcal{N}_E$ は依然として平坦かつ非滑らかであり、特異ファイバーは $F^2$ 内の $O_F$-格子の合同類によってインデックスづけられた射影直線の和集合であり、その交差構造はBruhat-Titsの木と一致する。
• 分岐設定における主極性の場合、2つの異なるフレーミング対象が、異なるモジュライ空間を生じる：1つは1点の減少部分集合（非可約的ケース）、もう1つは滑らかな部分と孤立点の直和（分解ケース）であり、それらはクリスタリン判別式によって区別される。
• 局所モデル理論により、すべてのケースでモジュライ空間が半安定還元をもつことが確認され、分岐ケースにおける孤立点は、先行研究による局所モデルの予想通り、スピン条件を満たさない。