[論文レビュー] The superstring cosmological constant and the Schottky form in genus 5

Samuel Grushevsky, Riccardo Salvati Manni|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ジャンル5のチャーミカル超弦測度の提案されたアンザッツに対して、モジュラー形式とショットキー・ジョン関係を用いて宇宙定数を調査する。宇宙定数が恒等的に消えないことを証明し、長年の予想を反証した。また、因子化と宇宙定数の消滅を満たす修正アンザッツを提示した。

ABSTRACT

Combining certain identities for modular forms due to Igusa with Schottky-Jung relations, we study the cosmological constant for the recently proposed ansatz for the chiral superstring measure in genus 5. The vanishing of this cosmological constant turns out to be equivalent to the long-conjectured vanishing of a certain explicit modular form of genus 5 on the moduli of curves M_5, and we disprove this conjecture, thus showing that the cosmological constant for the proposed ansatz does not vanish identically. We exhibit an easy modification of the genus 5 ansatz satisfying factorization constraints and yielding a vanishing cosmological constant. We also give an expression for the cosmological constant for the proposed ansatz that should hold for any genus if certain generalized Schottky-Jung identities hold.

研究の動機と目的

• 提案されたジャンル5のチャーミカル超弦測度のアンザッツにおける宇宙定数が消えるかどうかを特定すること。
• モジュラー形式 $ F_5 = (f_4^{(5)})^2 - f_8^{(5)} $ がモジュライ空間 $ \mathcal{M}_5 $ 上で恒等的に消えるという予想の妥当性を調査すること。これは宇宙定数が消えることに等しい。
• 因子化制約を満たし、ジャンル5で宇宙定数が消えるようにする修正アンザッツを構成すること。
• 高次元へのショットキー・ジョン恒等式の一般化の可能性と、それによる宇宙定数への影響を調査すること。

提案手法

• イグーサのモジュラー形式に関する恒等式とショットキー・ジョン関係を組み合わせ、ジャンル5における宇宙定数を分析する。
• 提案アンザッツの宇宙定数を $ (f_4^{(5)})^2 - f_8^{(5)} $ を含む線形結合として表現し、それが $ \mathcal{M}_5 $ 上で消えることと、このモジュラー形式が消えることの同値性を示す。
• theta特性およびモジュラー形式の明示的計算を用いて、宇宙定数を評価し、予想を検証する。
• Siegel $ \Phi $-作用素を適用して、宇宙定数が低次元への分岐に伴う挙動を分析する。
• 一般化されたショットキー・ジョン恒等式を仮定したもとで、任意のジャンル $ g $ における宇宙定数の一般化形を導出する。
• 係数 $ c = \frac{38192}{17} $ を用いて $ (f_4^{(5)})^2 - f_8^{(5)} $ の倍数を加えることで、修正アンザッツ $ \Xi'^{(5)} $ を構成し、宇宙定数が消えるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案されたジャンル5超弦アンザッツにおける宇宙定数は、恒等的に消えるか？
• RQ2 予想されたように、モジュラー形式 $ F_5 = (f_4^{(5)})^2 - f_8^{(5)} $ は $ \mathcal{M}_5 $ 上で恒等的にゼロか？
• RQ3 因子化制約を満たし、ジャンル5で宇宙定数が消えるようにする修正アンザッツを構成できるか？
• RQ4 一般化されたショットキー・ジョン恒等式は高次元で成り立つ可能性があり、その宇宙定数への影響は何か？
• RQ5 一般化されたショットキー・ジョン仮定の下で、ジャンル $ g $ における宇宙定数は $ (f_4^{(g)})^2 - f_8^{(g)} $ に比例するか？

主な発見

• 提案されたジャンル5アンザッツにおける宇宙定数は、恒等的に消えない。これは、$ \mathcal{M}_5 $ 上で $ (f_4^{(5)})^2 - f_8^{(5)} $ が消えるという長年の予想を反証する。
• 宇宙定数が消えることは、$ \mathcal{M}_5 $ 上でモジュラー形式 $ F_5 = (f_4^{(5)})^2 - f_8^{(5)} $ が消えることに同値であり、これが成り立たないことが示された。
• 明示的なアンザッツの修正 $ \Xi'^{(5)} $ が、$ \frac{38192}{17} $ 倍の $ (f_4^{(5)})^2 - f_8^{(5)} $ を加えることで構成され、宇宙定数が消える。
• 一般化されたショットキー・ジョン恒等式を仮定した場合、ジャンル $ g $ における宇宙定数は $ (f_4^{(g)})^2 - f_8^{(g)} $ に比例し、比例定数は $ g $ に依存しない。
• 一般化されたショットキー・ジョン恒等式が成り立つと仮定すると、宇宙定数は $ \mathcal{T}_g $ 上で恒等的に消えるのは $ g \leq 4 $ の場合に限る。
• Eberhard Freitag による $ g < 1000 $ に対する計算的確認がなされ、Siegel $ \Phi $-作用素を用いた幾何的証明も提供された。