[論文レビュー] The Symmetric Teleparallel Gravity

Muzaffer Adak|ArXiv.org|Nov 14, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、重力に寄与するのは時空の非計量性のみで、曲率とねじれが消える対称的平行輸送重力（STG）フレームワークを提案する。スカラー的対称な静的解がシュバルツシルト計量と等価であることが導かれ、高次のラグランジアンがシュバルツシルト＝デSitterおよびライスナー＝ノールストローム型の解を生じることを検討し、ダークマターが非計量性によって媒介される新たな重力的電荷を通じて結合する可能性を示唆する。

ABSTRACT

We study symmetric teleparallel (STP) gravity model, in which only spacetime non-metricity is nonzero. First we obtain STP equivalent Einstein-Hilbert Lagrangian and give an approach for a generic solution in terms of only metric tensor. Then we obtain a spherically symmetric static solution to the Einstein's equation in STP space-time and discuss the singularities. Finally, we study a model given by a Lagrangian 4-form quadratic in non-metricity. Thus, we seek Schwarzschild-type solutions because of its observational success and obtain some sets of solutions. Finally, we discuss physical relevance of the solutions.

研究の動機と目的

• 非計量性のみに依存する対称的平行輸送重力（STG）理論を構築すること。曲率とねじれはゼロとする。
• 対称的平行輸送幾何におけるSTG形式がアインシュタイン＝ヒルバート作用に等価であることを確立すること。
• 特に特異点構造に注目して、STGにおける球対称静的解を導出し、解析すること。
• 非計量性の2次の高次のラグランジアンを調査し、シュバルツシルト＝デSitterやライスナー＝ノールストローム型の物理的に意味のある解が得られるかを検討すること。
• ダークマターが質量を通じて重力に結合するだけでなく、非計量性によって媒介される新たな重力的電荷を通じても結合する可能性を提起すること。これは電磁気における電荷と類似している。

提案手法

• 正規直交双対標構と完全な線形接続を用いた非リーマン幾何を用い、カルタン構造方程式により非計量性、ねじれ、曲率を定義する。
• ホッジスター作用素と外微分計算を適用し、特に非計量性1形式 $ Q_{ab} = -\frac{1}{2} D\eta_{ab} $ に注目して場の運動方程式を導出する。
• STP幾何が特定の制約下で一般相対性理論と同じ場の運動方程式を再現することを示すことにより、アインシュタイン＝ヒルバート作用の対称的平行輸送等価性を導出する。
• 球対称静的時空の場の運動方程式を $ g = 1/f $ と仮定することで解き、2階非線形常微分方程式に還元する。
• 特定のパrameterの組合せ（$ \ell_3 = -\ell_1, \ell_4 = 0, \ell_5 = \ell_2/2 $）を選択することで、線形化領域の場の運動方程式を解析的に取り扱える形に変形する。
• 解の形 $ f^2 = 1 + \frac{C}{r} + D r^{-\ell_2/\ell_1} $ を特定し、特にシュバルツシルト、シュバルツシルト＝デSitter、ライスナー＝ノールストローム計量に対応する特別な場合を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非計量性のみに依存する対称的平行輸送重力理論が、アインシュタイン＝ヒルバート作用とその解を再現できるか。
• RQ2 対称的平行輸送重力における球対称静的解は何か。その特異点構造は一般相対性理論におけるものとどのように比較できるか。
• RQ3 非計量性の2次の高次のラグランジアンが、シュバルツシルト＝デSitterやライスナー＝ノールストローム型の物理的に意味のある解を生じるか。
• RQ4 ダークマターが質量だけでなく、非計量性によって媒介される新たな重力的電荷を通じて重力に結合する物理的メカニズムは存在するか。
• RQ5 非計量性の場強度が電磁場の重力的類似物としてどのように作用するか。ブラックホール構造にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 非計量性のみが重力の場強度である対称的平行輸送重力理論が、アインシュタイン＝ヒルバート形式の一般相対性理論と等価であることが示された。
• STP幾何における球対称静的解が導出され、非リーマン的時空において特異点構造の解釈がさらに明確化される必要がある。
• 場の運動方程式の線形化領域において、$ f^2 = 1 + \frac{C_1}{r} + D_1 \frac{\ln r}{r} $ の形の解が得られ、これは漸近的に平坦である。
• パラメータ $ \ell_2 = 0 $ のとき、解は $ C_2 = -2M $ であるシュバルツシルト型計量に還元され、定数は中心にある物体の質量として特定される。
• $ \ell_2 = -2\ell_1 $ のとき、解はシュバルツシルト＝デSitter型に変化し、$ D_2 = -\frac{1}{3}\Lambda $ となる。これは反発的中心力を持つ宇宙定数に類似した項を導入する。
• $ \ell_2 = 2\ell_1 $ のとき、ライスナー＝ノールストローム型の解が出現し、$ D_2 $ は新たな重力的電荷として解釈される。これはダークマターが非計量性場にこの電荷を通じて結合する可能性を示唆する。