[論文レビュー] The Szemeredi property in ergodic W*-dynamical systems

Conrad Beyers, Rocco Duvenhage+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、アーベル的でない可換性の下で、弱混合条件のもと、エルゴディック W*-動的系におけるシュタインメルディの性質を、アメニタブル群上のヒルベルト空間値関数に対する一般化されたヴァン・ダール・コプット補題を用いて確立する。主な結果は、このような系がシュタインメルディの性質を満たすか、それともその性質を満たす非自明なコンパクト因子を含むことである。これは、Furstenbergの古典的再帰結果を、$\mathbb{Z}^q$ や $\mathbb{R}^q$ のような群を含む非可換作用素代数的設定に拡張するものである。

ABSTRACT

We study weak mixing of all orders for asymptotically abelian weakly mixing state preserving C*-dynamical systems, where the dynamics is given by the action of an abelian second countable locally compact group which contains a Folner sequence satisfying the Tempelman condition. For a smaller class of groups (which include Z^q and R^q) this is then used to show that an asymptotically abelian ergodic W*-dynamical system either has the "Szemeredi property" or contains a nontrivial subsystem (a "compact factor") that does. A van der Corput lemma for Hilbert space valued functions on the group is one of our main technical tools.

研究の動機と目的

• 古典的エルゴディック理論におけるFurstenbergの古典的シュタインメルディ再帰定理を、C*-およびW*-動的系の非可換設定へ拡張すること。
• Følner列がテンペルマン条件を満たす可換第二可分局所有限位相群上で、アーベル的でない状態を保存するC*-動的系において、すべての順序の弱混合を確立すること。
• アーベル的でない漸近的可換性を満たすエルゴディック W*-動的系が、シュタインメルディの性質を満たすか、あるいはその性質を満たす非自明なコンパクト因子を含むことを証明すること。
• 第二可分アメニタブル局所有限位相群上のヒルベルト空間値関数に対するヴァン・ダール・コプット補題を一般化し、多重エルゴディック平均の解析を支援すること。
• Furstenbergの古典的分解に類似した、弱混合とコンパクト性に基づくW*-動的系の構造理論を構築すること。

提案手法

• アメニタブル群上のヒルベルト空間値関数に対する一般化されたヴァン・ダール・コプット補題を用いて、弱混合設定における多重エルゴディック平均を制御する。
• 群作用のホモオモルフィズムを用いて、すべての順序の弱混合を定義し、古典的概念を非アーベル群作用へ一般化する。
• テンペルマン条件を満たすFølner列を用いて、離散的平均区間の代わりに連続的群平均を導入する。
• 非可換C*-動的系に対して「密度における漸近的アーベル性」の概念を用い、再帰結果を得るのに十分な可換性を保証する。
• GNS構成を用いて、循環分離ベクトルを有する具体的なフォン・ノイマン代数としてW*-動的系を表現し、ヒルベルト空間作用素による解析を可能にする。
• 系が弱混合であるための必要十分条件として、非自明なコンパクト因子を含まないことであることを証明し、W*-設定における弱混合とコンパクト性の双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル的でない漸近的可換性を満たすエルゴディック W*-動的系が、$\mathbb{Z}^q$ や $\mathbb{R}^q$ のようなアメニタブル群上でシュタインメルディの性質を満たすか。
• RQ2 Følner列およびテンペルマン条件を満たす非可換C*-動的系において、すべての順序の弱混合を確立できるか。
• RQ3 弱混合でないエルゴディック W*-系が、シュタインメルディの性質を満たす非自明なコンパクト因子を含む条件は何か。
• RQ4 第二可分アメニタブル局所有限位相群上のヒルベルト空間値関数に対して、古典的ヴァン・ダール・コプット不等式を一般化できるか。
• RQ5 Furstenbergの古典的結果に類似した、弱混合部とコンパクト部に分解するW*-動的系の構造定理は存在するか。

主な発見

• Følner列およびテンペルマン条件を満たす非自明な漸近的可換エルゴディック W*-動的系は、$\mathbb{Z}^q$ や $\mathbb{R}^q$ 上で、非自明な因子に対してシュタインメルディの性質を満たす。
• エルゴディック W*-動的系が弱混合であるための必要十分条件は、非自明なコンパクト因子を含まないことである。これは、古典的エルゴディック理論における双対性に類似している。
• Følner列がテンペルマン条件を満たす可換第二可分局所有限位相群上で、アーベル的でない漸近的可換C*-動的系において、すべての順序の弱混合が確立される。
• 第二可分アメニタブル局所有限位相群上のヒルベルト空間値関数に対して、一般化されたヴァン・ダール・コプット補題が証明され、多重エルゴディック平均の制御が可能になる。
• 系が弱混合であれば、シュタインメルディの性質を満たす。これは、極限 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\mu(\Lambda_n)}\int_{\Lambda_n}\left|\omega\left(\prod_{j=0}^{k}\tau_{g^{m_j}}(a)\right)\right|dg = \omega(a)^{k+1} > 0$ によって示され、$a \in A^+$ かつ $\omega(a) > 0$ のとき成り立つ。
• $G = \mathbb{Z}^q$ および $G = \mathbb{R}^q$ に対して、$\Lambda_n = \{-n,\dots,n\}^q$ および $\Lambda_n = [-n,n]^q$ という明示的なFølner列が存在し、必要な条件を満たすため、主定理の適用が可能になる。