[論文レビュー] The telescope approach to embeddability of compacta

Sergey A. Melikhov, Evgenij V. Shchepin|ArXiv.org|Dec 4, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$n$次元コンパクトな空間が $\mathbb{R}^{m}$ に埋め込めるためのコhomologicalな基準を確立し、$m > \frac{3(n+1)}{2}$ の場合、その埋め込み可能性が $X \times X \setminus \Delta$ から $S^{m-1}$ への等長写像の存在と同値であることを示している。最高次のねじれエULER類のべきが、完全な障害を定める。$m = 2n$ かつ $n > 3$ の場合、埋め込み可能性は、$X \times X \setminus \Delta$ のコンパクト部分集合 $K_i$ における $\varprojlim^1 H^{2n-1}(K_i)$ におけるこの障害の消滅と同値であり、ANR に対するBorsukの問題の重要なケースを解決するとともに、一般化された多様体や可縮空間に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

We show that an n-dimensional compactum X embeds in R^m, where m>3(n+1)/2, if and only if X x X - Δadmits an equivariant map to S^{m-1}. In particular, X embeds in R^{2n}, n>3, iff the top power of the (twisted) Euler class of the factor-exchanging involution on X x X - Δis trivial. Assuming that X quasi-embeds in R^{2n} (i.e. is an inverse limit of n-polyhedra, embeddable in R^{2n}), this is equivalent to the vanishing of an obstruction in lim^1 H^{2n-1}(K_i) over compact subsets K_i\subset X x X - Δ. One application is that an n-dimensional ANR embeds in R^{2n} if it quasi-embeds in R^{2n-1}, n>3. We construct an ANR of dimension n>1, quasi-embeddable but not embeddable in R^{2n}, and an AR of dimension n>1, which does not "movably" embed in R^{2n}. These examples come close to, but don't quite resolve, Borsuk's problem: does every n-dimensional AR embed in R^{2n}? In the affirmative direction, we show that an n-dimensional compactum X embeds in R^{2n}, n>3, if H^n(X)=0 and H^{n+1}(X,X-pt)=0 for every pt\in X. There are applications in the entire metastable range as well. An n-dimensional compactum X with H^{n-i}(X-pt)=0 for each pt\in X and all i\le k embeds in R^{2n-k}. This generalizes Bryant and Mio's result that k-connected n-dimensional generalized manifolds embed in R^{2n-k}. Also, an acyclic compactum X embeds in R^m iff X x I embeds in R^{m+1} iff X x (triod) embeds in R^{m+2}. As a byproduct, we answer a question of T. Banakh on stable embeddability of the Menger cube.

研究の動機と目的

• $n > 3$ の場合、$n$次元コンパクトな空間が $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込めるための完全なコhomological障害を提供すること。
• 等長写像を用いて、$m > \frac{3(n+1)}{2}$ の $\mathbb{R}^{m}$ 内の埋め込み可能性の必要十分条件を確立すること。
• 一般化された多様体や可縮空間に関する結果を一般化し、コンパクトな空間が $\mathbb{R}^{2n-k}$ に埋め込めるためのコhomological条​​件を特定すること。
• $\mathbb{R}^{2n}$ に準埋め込み可能だが埋め込み不可能なANRおよびARの例を構成し、Borsukの予想に近づくが解決しないこと。
• T. Banakh が提起したMengerの立方体の安定埋め込みに関する問題に答えを提示すること。

提案手法

• 本稿は、埋め込み問題を、$[0,\infty)$ へのproperな写像によって制御される、無限次元の多面体 $T$ の $\mathbb{R}^m \times [0,\infty)$ へのレベルを保つ埋め込みとしてモデル化するため、テレスコープ構成を用いる。
• 埋め込み可能性の鍵となる基準として、対角線の補集合上で因子を入れ替える対合が作用する $X \times X \setminus \Delta$ から $S^{m-1}$ への等長写像を導入する。
• 主な障害は、$\tilde{X}/\mathbb{Z}_2$ 上の関連するベクトル束の（ねじれ付き）エULER類の最高次のべきであり、$H^{2n-1}(\tilde{X}; \mathbb{Z})$ に値をとる。
• $\varprojlim^1 H^{2n-1}(K_i) = 0$ が成り立つことと、Milnorの完全列とMittag-Leffler条件を用いて、この障害が消えることが示され、$K_i \subset X \times X \setminus \Delta$ のコンパクト部分集合上で成立する。
• 射影 $\pi_i: K_i \to X$ に対してLerayのスペクトル系列を適用し、層コhomology $\Cal{H}^{n-d}(\pi_i)$ を用いて、$X \setminus \{x\}$ の局所コhomology を $K_i$ のグローバルコhomology と関連付ける。
• 仮定 $H^{n-d}(X \setminus \{x\}) = 0$ の下で、$H^{n-d}(K_i^x) \to H^{n-d}(K_j^x)$ が $j > i$ に対して 0 になることを利用し、$\varprojlim^1$ 項目の消滅を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n > 3$ の場合、$n$次元コンパクトな空間 $X$ が $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込めるための完全なコhomological障害は存在するか？
• RQ2 $X \times X \setminus \Delta$ 上の因子を入れ替える対合のねじれ付きエULER類の最高次のべきの消滅は、$\mathbb{R}^{2n}$ 内への埋め込み可能性を特徴づけるか？
• RQ3 一般化された多様体のためのメタスタブル範囲埋め込み定理は、局所ホモロジーを制御する多面体へ一般化可能か？
• RQ4 $\mathbb{R}^{2n}$ に準埋め込み可能なすべての $n$次元ANR は、実際に $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込めるか？
• RQ5 Mengerの立方体は、ある $m$ に対して $\mathbb{R}^{m}$ に安定して埋め込めるか？

主な発見

• $n$次元コンパクトな空間 $X$ は、$m > \frac{3(n+1)}{2}$ のとき、$X \times X \setminus \Delta$ から $S^{m-1}$ への等長写像が存在するための必要十分条件を満たす。これは埋め込み可能性の位相的基準を提供する。
• $m = 2n$ かつ $n > 3$ のとき、$X$ は $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込めるための必要十分条件は、$X \times X \setminus \Delta$ 上の対合のねじれ付きエULER類の最高次のべきが消えることである。
• $X$ が $\mathbb{R}^{2n}$ に準埋め込み可能であるとき、$X$ が $\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込めるのは、$K_i \subset X \times X \setminus \Delta$ のコンパクト部分集合上で $\varprojlim^1 H^{2n-1}(K_i)$ における障害が消えることと同値である。
• $n > 3$ のとき、$n$次元ANR が $\mathbb{R}^{2n-1}$ に準埋め込み可能であれば、$\mathbb{R}^{2n}$ に埋め込める。これはBorsukの問題の方向に対する肯定的な結果を提供する。
• 本稿は、$n > 1$ の $n$次元ANR（$n > 1$）を構成し、$\mathbb{R}^{2n}$ に準埋め込み可能だが埋め込み不可能であることを示し、障害が非自明であり、Borsukの予想が自明に真であるとは限らないことを示している。
• 可縮コンパクトな空間 $X$ は、$\mathbb{R}^m$ に埋め込めるための必要十分条件は、$X \times I$ が $\mathbb{R}^{m+1}$ に埋め込めるときであり、同様に $X \times \text{triod}$ が $\mathbb{R}^{m+2}$ に埋め込めるときである。これはT. Banakh が提起したMengerの立方体の安定埋め込みに関する問題を解決する。