[論文レビュー] The tensor Dirac equation in Riemannian space

Н. Г. Марчук|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2000

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、テトラッド形式を用いずにリーマン多様体上のディラック方程式のテンソル形式を提案し、曲がった時空へのディラック方程式の一般化を可能にする新しいクリフォード微分構造を導入する。主な貢献は、ミンコフスキー空間におけるスピン(1,3)-ゲージ不変なテンソルディラック方程式と、曲率が消え、重力場がポテンシャル $ B_\mu $ と強度 $ C_{\mu\nu} $ に符号化される、ねじれを伴うアフィン接続を通じた重力の幾何的解釈である。

ABSTRACT

We suggest a tensor equation on Riemannian manifolds which can be considered as a generalization of the Dirac equation for the electron. The tetrad formalism is not used. Also we suggest a new form of the tensor Dirac equation with a Spin(1,3) gauge symmetry in Minkowski space.

研究の動機と目的

• テトラッド形式に依存せずにリーマン多様体上のディラック方程式の一般化を定式化すること。
• ミンコフスキー空間におけるスピン(1,3)ゲージ対称性を持つ新しいテンソルディラック方程式を導入すること。
• 曲率が消えるアフィン接続とねじれを伴う接続を通じた重力の幾何的解釈を提供すること。
• ねじれを伴う状況下で、クリフォード微分と共変微分との対応関係を確立すること。
• 平坦なアフィン空間におけるポテンシャル $ B_\mu $ と曲率 $ C_{\mu\nu} $ を用いた重力の場のモデルを導出すること。

提案手法

• 4次元リーマン多様体上で、計量 $ g_{\mu\nu} $、符号 $ -2 $、および $ \det g < 0 $ を満たす微分形式 $ \Lambda^k $ を定義する。
• ホッジスター作用素 $ \star $ を導入し、外積とホッジ双対作用を用いたクリフォード乗法則を定義する。
• 計量とホッジスターを用いて一般化された共変微分の一般化としてのクリフォード微分 $ \Upsilon_\mu $ を定義する。
• テンソルディラック方程式 $ \Upsilon_\mu \Psi + m \Psi H = 0 $ を構成する。ここで $ H $ と $ I $ は、$ H^2 = 1 $、$ I^2 = -1 $、$ [H,I] = 0 $ を満たす定数行列である。
• アフィン接続 $ \check{\Gamma}^\lambda_{\mu\nu} $ を導入し、ねじれ $ K^\lambda_{\mu\nu} = \check{\Gamma}^\lambda_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\mu\nu} $ を定義し、それをねじれと関連付ける。
• $ B_\mu = -\frac{1}{2} K_{\alpha\mu\beta} dx^\alpha \wedge dx^\beta $ および $ C_{\mu\nu} = \frac{1}{2} R_{\alpha\beta\mu\nu} dx^\alpha \wedge dx^\beta $ を定義し、$ \check{\Upsilon}_\mu U = \Upsilon_\mu U - [B_\mu, U] $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テトラッドを用いずに、ディラック方程式をリーマン多様体に一般化する方法は何か？
• RQ2 ホッジスターと微分形式を用いたクリフォード微分 $ \Upsilon_\mu $ の構造は何か？
• RQ3 ミンコフスキー空間におけるテンソルディラック方程式で、スピン(1,3)ゲージ対称性を実現できるか？
• RQ4 アフィン接続にねじれが存在する場合、クリフォード微分にどのような影響を与えるか？
• RQ5 平坦なアフィン空間におけるねじれテンソルと曲率を用いた重力の幾何的解釈は何か？

主な発見

• テトラッドを用いずに定式化されたテンソルディラック方程式 $ \Upsilon_\mu \Psi + m \Psi H = 0 $ は、リーマン多様体へのディラック方程式の一般化を実現する。
• ミンコフスキー空間では、変換 $ \Psi \to \Psi V $、$ H \to V^{-1} H V $、$ I \to V^{-1} I V $ に対して、$ V \in \text{Spin}(1,3) $ である限り、グローバルなスピン(1,3)ゲージ対称性を有する。
• アフィン接続を伴う状況下で、クリフォード微分は $ \check{\Upsilon}_\mu U = \Upsilon_\mu U - [B_\mu, U] $ を満たし、ここで $ B_\mu $ はねじれテンソルから導かれる。
• アフィン曲率 $ \check{R}_{\alpha\beta\mu\nu} = 0 $ である場合に限り、方程式 $ \Upsilon_\mu B_\nu - \Upsilon_\nu B_\mu - [B_\mu, B_\nu] = \frac{1}{2} C_{\mu\nu} $ が成立する。
• 重力場は、平坦なアフィン空間における計量に依存する接続を前提として、ペア $ \{ B_\mu, C_{\mu\nu} \} $ としてモデル化される。ここで $ B_\mu $ はポテンシャル、$ C_{\mu\nu} $ は強度である。
• このモデルは、曲率が消えるがねじれを伴うアフィン接続の幾何的性質として重力を特定し、場の運動方程式はアフィン接続の平坦性条件から導かれる。